Rezolvare BAC 2017 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea specială 2017 (Proba E.c) — sesiunea specială 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe z₁ = 3 + 2i și z₂ = 3 − 2i. Arătați că numărul z₁ + z₂ este real.

z₁ + z₂ = (3 + 2i) + (3 − 2i) = 6 + 0·i.
z₁ + z₂ = 6, care este număr real.
Răspuns
z₁ + z₂ = 6 ∈ R
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Determinați numărul real m, știind că punctul M(2, m) aparține graficului funcției f:R→R, f(x) = x² − 3.

M(2, m) aparține graficului ⇔ f(2) = m.
f(2) = 4 − 3 = 1, deci m = 1.
Răspuns
m = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3³ˣ⁻⁵ = 3⁻².

Funcția exponențială e injectivă, deci exponenții sunt egali: 3x − 5 = −2.
3x = 3, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1, 2, 3, …, 20}, acesta să fie multiplu de 5.

A are 20 de elemente, deci sunt 20 de cazuri posibile.
Multiplii lui 5 din A sunt 5, 10, 15, 20: 4 cazuri favorabile.
p = 420 = 15.
Răspuns
p = 15
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,5), B(1,3) și C(m,1), unde m este număr real. Determinați numărul real m, știind că punctul C aparține dreptei AB.

Panta lui AB: 3 − 51 − 2 = 2, deci AB: y − 5 = 2(x − 2), adică y = 2x + 1.
C ∈ AB ⇔ 1 = 2m + 1 ⇔ m = 0.
Răspuns
m = 0
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră E(x) = cos(x2) + sin x, unde x este număr real. Arătați că E(π3) = √3.

E(π3) = cos(π6) + sin(π3).
cos(π6) = √32 și sin(π3) = √32, deci E(π3) = √32 + √32 = √3.
Răspuns
E(π3) = √3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = xx+112x1301, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 1.

A(0) = 011201301.
det(A(0)) = 011201301 = 0 + 0 + 3 − 0 − 0 − 2 = 1.
Răspuns
det(A(0)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x, pentru care A(x) + A(x + 2) = 2A(2).

A(x) + A(x + 2) = xx+112x1301 + x+2x+312x+21301 = 2x+22x+4242x+22602.
2A(2) = 462442602.
Egalând elementele: 2x + 2 = 4, 2x + 4 = 6, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(n, n + 1), N(2, n) și P(3,0). Determinați numărul natural n, știind că punctele M, N și P sunt coliniare.

M, N, P coliniare ⇔ nn+112n1301 = 0, adică det(A(n)) = 0.
Calculând: n·n + 3(n + 1) + 0 − 3n − 0 − 2(n + 1) = n² − 2n + 1.
n² − 2n + 1 = 0 ⇔ (n − 1)² = 0, deci n = 1.
Răspuns
n = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ + aX² + X − 1, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că f(1) − f(−1) = 4, pentru orice număr real a.

f(1) = 1 + a + 1 − 1 = a + 1.
f(−1) = −1 + a − 1 − 1 = a − 3.
f(1) − f(−1) = (a + 1) − (a − 3) = 4, pentru orice număr real a.
Răspuns
f(1) − f(−1) = 4
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Pentru a = 2, calculați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X² + X + 1.

Pentru a = 2: f = X³ + 2X² + X − 1.
Primul termen al câtului: X; X·(X² + X + 1) = X³ + X² + X, iar f − (X³ + X² + X) = X² − 1.
Următorul termen: 1; X² − 1 − (X² + X + 1) = −X − 2, de grad mai mic decât 2.
Deci f = (X² + X + 1)(X + 1) + (−X − 2).
Răspuns
câtul X + 1, restul −X − 2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a pentru care x₁ + x₂ + x₃ + x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = x₁x₂x₃ − 1, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = −a, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 1, x₁x₂x₃ = 1.
Egalitatea devine −a + 1 = 1 − 1 = 0, deci a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(1,+∞)→R, f(x) = x² − x + 1x − 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x(x − 2)(x − 1)², x∈(1,+∞).

f'(x) = (2x − 1)(x − 1) − (x² − x + 1)·1(x − 1)².
Numărătorul: 2x² − 3x + 1 − x² + x − 1 = x² − 2x = x(x − 2), deci f'(x) = x(x − 2)(x − 1)².
Răspuns
f'(x) = x(x − 2)(x − 1)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2, situat pe graficul funcției f.

f(2) = 4 − 2 + 12 − 1 = 3 și f'(2) = 2·01 = 0.
Tangenta: y − f(2) = f'(2)(x − 2), adică y = 3.
Răspuns
y = 3
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că limx→+∞ f(x)eˣ + 1 = 0.

Scriem f(x)eˣ + 1 = (x² − x + 1x(x − 1))·(xeˣ + 1).
limx→+∞ x² − x + 1x² − x = 1 (raportul coeficienților dominanți).
limx→+∞ xeˣ + 1 = limx→+∞ 1eˣ = 0 (l'Hôpital).
Deci limita este 1·0 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ + 2x.