Rezolvare BAC 2019 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea specială 2019 (Proba E.c) — sesiunea specială 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (1 + i)² − 2i = 0, unde i² = −1.

(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i.
(1 + i)² − 2i = 2i − 2i = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Determinați numărul real nenul m, știind că abscisa vârfului parabolei asociate funcției f:R→R, f(x) = mx² + 8x − 7 este egală cu 12.

Abscisa vârfului: x_V = −b2a = −82m = −4m.
−4m = 12, deci m = −13.
Răspuns
m = −13
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄(x² − 10x + 40) = 2.

Din definiția logaritmului: x² − 10x + 40 = 4² = 16, deci x² − 10x + 24 = 0.
Rădăcinile: x = 4 sau x = 6; pentru ambele argumentul e 16 > 0, deci convin.
Răspuns
x = 4 sau x = 6
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {1, 2, 3, …, 100}, acesta să fie număr impar.

M are 100 de elemente: 100 de cazuri posibile.
Numerele impare din M sunt 1, 3, …, 99: 50 de cazuri favorabile, deci p = 50100 = 12.
Răspuns
p = 12
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,−1), B(−2,0) și C(0,3). Determinați lungimea vectorului BD, știind că ABCD este paralelogram.

În paralelogramul ABCD: BD = BA + BC (vectori). BA = 4i − j și BC = 2i + 3j.
BD = 6i + 2j, deci lungimea lui este √6² + 2² = √40 = 2√10.
Răspuns
2√10
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin3x + sin2x + sin x = √3, știind că x ∈ (0, π2) și sin x = √32.

x ∈ (0, π2) și sin x = √32, deci x = π3.
sin π + sin(2π3) + sin(π3) = 0 + √32 + √32 = √3.
Răspuns
√3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 1133 și M(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(M(1)) = 5.

M(1) = 2134, deci det(M(1)) = 2134 = 8 − 3 = 5.
Răspuns
5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că M(a)M(b) = M(a + b + 4ab), pentru orice numere reale a și b.

M(a)M(b) = (I₂ + aA)(I₂ + bA) = I₂ + aA + bA + ab·A·A.
A·A = 441212 = 4A.
Deci M(a)M(b) = I₂ + (a + b + 4ab)A = M(a + b + 4ab).
Răspuns
M(a)M(b) = M(a + b + 4ab)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale a pentru care M(a)M(a) = M(2).

Din b): M(a)M(a) = M(2a + 4a²).
M(x) = M(y) ⇔ xA = yA ⇔ x = y (A ≠ O₂), deci 4a² + 2a = 2, adică 2a² + a − 1 = 0.
Δ = 1 + 8 = 9, deci a = −1 sau a = 12.
Răspuns
a = −1 sau a = 12
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = 5x + 5y − xy − 20.

a) (5p) Arătați că x∗y = −(x − 5)(y − 5) + 5, pentru orice numere reale x și y.

x∗y = −xy + 5x + 5y − 25 + 5 = −x(y − 5) + 5(y − 5) + 5.
= −(x − 5)(y − 5) + 5.
Răspuns
x∗y = −(x − 5)(y − 5) + 5
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați valorile reale ale lui x pentru care x∗x ≥ x.

x∗x = −(x − 5)² + 5.
−(x − 5)² + 5 ≥ x ⇔ −x² + 10x − 20 ≥ x ⇔ x² − 9x + 20 ≤ 0 ⇔ (x − 4)(x − 5) ≤ 0.
x ∈ [4, 5].
Răspuns
x ∈ [4, 5]
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Calculați 1∗(−2)∗3∗(−4)∗…∗(−2018)∗2019.

Din a): x∗5 = −(x − 5)·0 + 5 = 5 și 5∗x = 5, pentru orice număr real x.
Șirul conține termenul 5 (1, −2, 3, −4, 5, −6, …). Legea fiind asociativă, grupăm: (1∗(−2)∗3∗(−4))∗5∗((−6)∗…∗2019).
Notând u = 1∗(−2)∗3∗(−4) și v = (−6)∗…∗2019, avem (u∗5)∗v = 5∗v = 5.
Răspuns
5
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 6x + 9eˣ.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = −(x + 1)(x + 3)eˣ, x∈R.

f'(x) = (2x + 6)eˣ − (x² + 6x + 9)eˣ(eˣ)² = 2x + 6 − x² − 6x − 9eˣ.
= −x² − 4x − 3eˣ = −(x + 1)(x + 3)eˣ.
Răspuns
f'(x) = −(x + 1)(x + 3)eˣ
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

Limita e de forma ∞/∞; aplicăm de două ori regula lui l'Hôpital: limx→+∞ x² + 6x + 9eˣ = limx→+∞ 2x + 6eˣ = limx→+∞ 2eˣ = 0.
Dreapta de ecuație y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞.
Răspuns
y = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 0 ≤ (x + 3)(y + 3) ≤ 4e^((x + y + 2)/2), pentru orice x, y ∈ [−3, +∞).

Pe [−3, −1]: f'(x) ≥ 0, deci f crește; pe [−1, +∞): f'(x) ≤ 0, deci f scade. Maximul lui f pe [−3, +∞) este f(−1) = 4e⁻¹ = 4e.
f(x) = (x + 3)²eˣ ≤ 4e ⇔ (x + 3)² ≤ 4eˣ⁺¹ ⇔ 0 ≤ x + 3 ≤ 2e^((x + 1)/2), pentru x ≥ −3.
Analog 0 ≤ y + 3 ≤ 2e^((y + 1)/2). Înmulțind inegalitățile (toți factorii sunt nenegativi): 0 ≤ (x + 3)(y + 3) ≤ 4e^((x + y + 2)/2).
Răspuns
0 ≤ (x + 3)(y + 3) ≤ 4e^((x + y + 2)/2)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = x³x + 1.