Rezolvare BAC 2021 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea I (vară) 2021 (Proba E.c) — iulie 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați al treilea termen al progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥₁, știind că b₁ = 2 și b₂ = 6.

Rația este q = b₂b₁ = 62 = 3.
b₃ = b₂·q = 6·3 = 18.
Răspuns
b₃ = 18
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = x + 7 și g:R→R, g(x) = x − 7. Calculați (f∘g)(7).

g(7) = 7 − 7 = 0.
(f∘g)(7) = f(g(7)) = f(0) = 7.
Răspuns
7
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √2x − 1 = x − 2.

Condiții: 2x − 1 ≥ 0 și x − 2 ≥ 0, deci x ≥ 2.
Ridicând la pătrat: 2x − 1 = x² − 4x + 4 ⇔ x² − 6x + 5 = 0, cu soluțiile x = 1 și x = 5.
x = 1 nu convine (1 − 2 < 0), x = 5 convine: √9 = 3 = 5 − 2.
Răspuns
x = 5
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) > 0.

Numerele naturale de o cifră sunt 0, 1, …, 9: 10 cazuri posibile.
Pentru n ∈ {0, 1, 2, 3, 4} produsul este 0; pentru n ≥ 5 toți factorii sunt pozitivi, deci produsul e pozitiv: n ∈ {5, 6, 7, 8, 9}, 5 cazuri favorabile.
p = 510 = 12.
Răspuns
p = 12
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), B(−1,0), C(3,5) și D(5,6). Demonstrați că punctele B, D și mijlocul segmentului AC sunt coliniare.

Mijlocul lui AC: M(1 + 32, 1 + 52) = M(2, 3).
Panta lui BM: 3 − 02 + 1 = 1; panta lui BD: 6 − 05 + 1 = 1.
Dreptele BM și BD au aceeași pantă și punctul comun B, deci B, D și M sunt coliniare.
Răspuns
B, D, M coliniare
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Determinați x ∈ (0, π), știind că (sin x − cos x)² = 2.

(sin x − cos x)² = sin²x + cos²x − 2sin x·cos x = 1 − sin2x.
1 − sin2x = 2 ⇔ sin2x = −1.
x ∈ (0, π) ⇒ 2x ∈ (0, 2π), deci 2x = 3π2 și x = 3π4.
Răspuns
x = 3π4
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 1+2ᵃ2ᵃ−2ᵃ1−2ᵃ, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 1.

A(0) = 21−10, deci det(A(0)) = 21−10 = 2·0 − 1·(−1) = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(1) + A(2) − A(1)·A(2) = I₂.

A(1) = 32−2−1, A(2) = 54−4−3, iar A(1)·A(2) = 76−6−5.
A(1) + A(2) − A(1)·A(2) = 3+5−72+4−6−2−4+6−1−3+5 = 1001 = I₂.
Răspuns
A(1) + A(2) − A(1)·A(2) = I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Se consideră numerele naturale m și n, astfel încât A(m)·A(n) = A(m + n). Arătați că m = n = 1.

Prin calcul, A(m)·A(n) = 1+2ᵐ+2ⁿ2ᵐ+2ⁿ−2ᵐ−2ⁿ1−2ᵐ−2ⁿ, iar A(m + n) = 1+2ᵐ⁺ⁿ2ᵐ⁺ⁿ−2ᵐ⁺ⁿ1−2ᵐ⁺ⁿ.
Egalitatea are loc ⇔ 2ᵐ⁺ⁿ = 2ᵐ + 2ⁿ ⇔ 2ᵐ·2ⁿ − 2ᵐ − 2ⁿ + 1 = 1 ⇔ (2ᵐ − 1)(2ⁿ − 1) = 1.
Pentru m, n naturale, 2ᵐ − 1 și 2ⁿ − 1 sunt numere naturale cu produsul 1, deci 2ᵐ − 1 = 2ⁿ − 1 = 1, adică m = n = 1.
Răspuns
m = n = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x² + y² + x + y.

a) (5p) Arătați că (−1)∗(−1) = 0.

(−1)∗(−1) = (−1)² + (−1)² + (−1) + (−1) = 1 + 1 − 1 − 1 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x∗y = (x + 12)² + (y + 12)² − 12, pentru orice numere reale x și y.

x∗y = (x² + x + 14) + (y² + y + 14) − 12.
x² + x + 14 = (x + 12)² și y² + y + 14 = (y + 12)², deci x∗y = (x + 12)² + (y + 12)² − 12.
Răspuns
x∗y = (x + 12)² + (y + 12)² − 12
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care x²∗x² ≤ 4.

Din b): x²∗x² = 2(x² + 12)² − 12.
2(x² + 12)² − 12 ≤ 4 ⇔ (x² + 12)² ≤ 94 ⇔ x² + 12 ≤ 32 (fiindcă x² + 12 > 0).
x² ≤ 1 ⇔ x ∈ [−1, 1].
Răspuns
x ∈ [−1, 1]
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R, f(x) = x² + 4x − (12)ln(x + 2).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (2x + 3)(2x + 5)2(x + 2), x ∈ (−2,+∞).

f'(x) = 2x + 4 − (12)·1/(x + 2) = 2(x + 2) − 12(x + 2).
Aducând la același numitor: f'(x) = 4(x + 2)² − 12(x + 2).
4(x + 2)² − 1 = (2x + 4 − 1)(2x + 4 + 1) = (2x + 3)(2x + 5), deci f'(x) = (2x + 3)(2x + 5)2(x + 2).
Răspuns
f'(x) = (2x + 3)(2x + 5)2(x + 2)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Calculați limx→+∞ x² + 4x − f(x)x.

x² + 4x − f(x) = (12)ln(x + 2), deci limita este limx→+∞ ln(x + 2)2x.
Cazul ∞/∞; cu regula lui l'Hôpital: limx→+∞ 1/(x + 2)2 = limx→+∞ 12(x + 2) = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că x² + 4x + 154 ≥ (12)ln(2x + 4), pentru orice x ∈ (−2,+∞).

Pe (−2,+∞) avem x + 2 > 0 și 2x + 5 > 0, deci semnul lui f' este semnul lui 2x + 3: f' ≤ 0 pe (−2, −32] și f' ≥ 0 pe [−32, +∞).
f este descrescătoare pe (−2, −32] și crescătoare pe [−32, +∞), deci f(x) ≥ f(−32) pentru orice x > −2.
f(−32) = 94 − 6 − (12)ln(12) = −154 + (12)ln2.
Din x² + 4x − (12)ln(x + 2) ≥ −154 + (12)ln2 obținem x² + 4x + 154 ≥ (12)(ln(x + 2) + ln2) = (12)ln(2x + 4).
Răspuns
inegalitatea e adevărată pe (−2,+∞)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1 + 2x² + 1.