Acasă / Subiecte rezolvate / 2018 / Rezolvare M2 științe ale naturii

Rezolvare BAC 2018 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea I (vară) 2018 (Proba E.c) — sesiunea din vară 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Rezolvă-l cronometrat, cu notă Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați produsul primilor trei termeni ai progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥₁, știind că b₂ = 4.
  • Într-o progresie geometrică b₁·b₃ = b₂².
  • b₁·b₂·b₃ = b₂²·b₂ = b₂³ = 4³ = 64.

  • Răspuns

    64

  • Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f, g:R→R, f(x) = (x − 1)² și g(x) = 2018 − x. Calculați g(f(1)).
  • f(1) = (1 − 1)² = 0.
  • g(f(1)) = g(0) = 2018.

  • Răspuns

    2018

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 25ˣ = 5x².
  • 25ˣ = 5²ˣ, deci ecuația devine 5²ˣ = 5x², adică 2x = x².
  • x² − 2x = 0 ⇔ x(x − 2) = 0, deci x = 0 sau x = 2.

  • Răspuns

    x ∈ {0, 2}

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor egală cu 9.
  • Sunt 90 de numere naturale de două cifre: 90 de cazuri posibile.
  • Numerele cu cifra zecilor 9 sunt 90, 91, …, 99: 10 cazuri favorabile.
  • p = 1090 = 19.

  • Răspuns

    p = 19

  • Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație (a − 1)x − a²y − a² = 0, unde a este număr real nenul. Determinați numărul real nenul a, știind că dreapta d este paralelă cu axa Ox.
  • Pentru a ≠ 0, ecuația se scrie y = (a − 1a²)·x − 1, deci panta este md = a − 1a².
  • d este paralelă cu Ox ⇔ md = 0 ⇔ a − 1 = 0, deci a = 1 (pentru a = 1 dreapta este y = −1, paralelă cu Ox).

  • Răspuns

    a = 1

  • Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că tg x + ctg x = 52, știind că sin x = 1√5 și x∈(0, π2).
  • cos²x = 1 − sin²x = 1 − 15 = 45, iar pentru x∈(0, π2) cos x > 0, deci cos x = 2√5.
  • tg x + ctg x = sin(x)cos(x) + cos(x)sin(x) = sin²x + cos²xsin x·cos x = 1sin x·cos x.
  • sin x·cos x = (1√5)·(2√5) = 25, deci tg x + ctg x = 52.

  • Răspuns

    52

  • Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = x+2x1−2, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = −7.
  • A(1) = 311−2, deci det(A(1)) = 311−2 = 3·(−2) − 1·1 = −6 − 1 = −7.

  • Răspuns

    det(A(1)) = −7

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că xA(y) − yA(x) = (x − y)A(0), pentru orice numere reale x și y.
  • xA(y) − yA(x) = xy+2xxyx−2x − xy+2yxyy−2y = 2(x−y)0x−y−2(x−y).
  • = (x − y)·201−2 = (x − y)A(0), pentru orice numere reale x și y.

  • Răspuns

    xA(y) − yA(x) = (x − y)A(0)

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale a, știind că (aA(−1) + A(a))A(0) = (a² + 7)I₂.
  • Din b), pentru x = a și y = −1: aA(−1) + A(a) = (a + 1)A(0).
  • A(0)·A(0) = 201−2·201−2 = 4004 = 4I₂, deci (aA(−1) + A(a))A(0) = 4(a + 1)I₂.
  • 4(a + 1) = a² + 7 ⇔ a² − 4a + 3 = 0, deci a = 1 sau a = 3.

  • Răspuns

    a ∈ {1, 3}

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = 4X³ − 6X + m, unde m este număr real.

a) (5p) Pentru m = 2, arătați că f(1) = 0.
  • Pentru m = 2: f = 4X³ − 6X + 2, deci f(1) = 4 − 6 + 2 = 0.

  • Răspuns

    f(1) = 0

  • Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real m, polinomul f nu se divide cu polinomul X² + X + 1.
  • Împărțim: 4X³ − 6X + m = (X² + X + 1)(4X − 4) + (−6X + m + 4), deci restul este −6X + m + 4.
  • Restul are coeficientul lui X egal cu −6 ≠ 0, deci este nenul pentru orice m real; prin urmare f nu se divide cu X² + X + 1.

  • Răspuns

    restul −6X + m + 4 ≠ 0

  • Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real nenul m, știind că (1x₁ + 1x₂ + 1x₃)² = (1x₁)·(1x₂)·(1x₃), unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.
  • Relațiile lui Viète: x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = −64 = −32 și x₁x₂x₃ = −m4.
  • 1x₁ + 1x₂ + 1x₃ = x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁x₁x₂x₃ = −3/2−m/4 = 6m, iar (1x₁)·(1x₂)·(1x₃) = −4m.
  • (6m)² = −4m ⇔ 36m² = −4m ⇔ 36 = −4m, deci m = −9 (nenul).

  • Răspuns

    m = −9

  • Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 1 − ln xx − 1x.

Vezi graficul funcției f
1234560,10,20,30,40,5xy

a) (5p) Arătați că f'(x) = ln xx², x∈(0,+∞).
  • (ln xx)' = (1/x)·x − ln xx² = 1 − ln xx², iar (1x)' = −1x².
  • f'(x) = 0 − 1 − ln xx² + 1x² = −1 + ln x + 1x² = ln xx².

  • Răspuns

    f'(x) = ln xx²

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.
  • f(1) = 1 − 0 − 1 = 0 și f'(1) = ln11 = 0.
  • Ecuația tangentei: y − f(1) = f'(1)(x − 1), adică y = 0.

  • Răspuns

    y = 0

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ln x2√x ≤ 1 − 1√x, pentru orice x∈(0,+∞).
  • f'(x) ≤ 0 pe (0,1] (ln x ≤ 0), deci f e descrescătoare pe (0,1]; f'(x) ≥ 0 pe [1,+∞), deci f e crescătoare pe [1,+∞).
  • Așadar f(x) ≥ f(1) = 0, pentru orice x∈(0,+∞).
  • Pentru x > 0 avem √x > 0, deci f(√x) ≥ 0: 1 − ln√x√x − 1√x ≥ 0.
  • Cum ln√x = ln x2, obținem ln x2√x ≤ 1 − 1√x, pentru orice x∈(0,+∞).

  • Răspuns

    f(√x) ≥ 0, deci inegalitatea are loc

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = 3x² + 1x + 1.

Vezi graficul funcției f
−112345204060xy

a) (5p) Arătați că ∫[0,2] (x + 1)f(x) dx = 22.
  • (x + 1)f(x) = 3x³ + 3x² + 1.
  • ∫[0,2] (3x³ + 3x² + 1) dx = [3x⁴4 + x³ + x] de la 0 la 2 = 12 + 8 + 2 = 22.

  • Răspuns

    22

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Calculați ∫[0,1] (f(x) − 1x + 1)·ex³ dx.
  • f(x) − 1x + 1 = 3x², deci integrala este ∫[0,1] 3x²·ex³ dx.
  • Cum (ex³)' = 3x²·ex³, integrala este [ex³] de la 0 la 1 = e − 1.

  • Răspuns

    e − 1

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul natural nenul n, știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g:[0,1]→R, g(x) = f(x) − 3x² este egal cu πn.
  • g(x) = 1x + 1, deci V = π∫[0,1] g²(x) dx = π∫[0,1] 1(x + 1)² dx.
  • V = π[−1x + 1] de la 0 la 1 = π(−12 + 1) = π2.
  • πn = π2 ⇔ n = 2.

  • Răspuns

    n = 2

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M2 științe ale naturii

Toate subiectele oficiale, din 2013 încoace →