Acasă / Subiecte rezolvate / 2021 / Rezolvare M2 științe ale naturii

Rezolvare BAC 2021 Matematică M2 științe ale naturii, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din simularea 2021 (Simularea națională a clasei a XII-a — 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Rezolvă-l cronometrat, cu notă Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numărul complex z = 3 + 2i. Arătați că z + 13z = 6.
  • 13z = 13(3 − 2i)(3 + 2i)(3 − 2i) = 13(3 − 2i)9 + 4 = 3 − 2i.
  • z + 13z = 3 + 2i + 3 − 2i = 6.

  • Răspuns

    6

  • Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 3x − 5 și g:R→R, g(x) = x² + x. Determinați numărul real a pentru care (f∘g)(a) = (f∘g)(−a).
  • 3g(a) − 5 = 3g(−a) − 5 ⇔ g(a) = g(−a).
  • a² + a = a² − a ⇔ 2a = 0, deci a = 0.

  • Răspuns

    a = 0

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 33x+5 = 9·3x+1.
  • 9·3x+1 = 3²·3x+1 = 3x+3, deci 33x+5 = 3x+3.
  • 3x + 5 = x + 3, deci x = −1.

  • Răspuns

    x = −1

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Se consideră A, o mulțime cu 4 elemente. Calculați probabilitatea ca, alegând o mulțime din mulțimea submulțimilor lui A, aceasta să aibă un număr impar de elemente.
  • A are 2⁴ = 16 submulțimi: 16 cazuri posibile.
  • Submulțimi cu 1 sau 3 elemente: C(4,1) + C(4,3) = 4 + 4 = 8 cazuri favorabile.
  • p = 816 = 12.

  • Răspuns

    p = 12

  • Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,3), B(3,5) și C(0,6). Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul A și este paralelă cu mediana din vârful C a triunghiului ABC.
−1123−1123456xyOA(1, 3)B(3, 5)C(0, 6)M(2, 4)
  • Mijlocul lui AB este M(2,4); panta medianei CM este 4 − 62 − 0 = −1.
  • d ∥ CM, deci md = −1, iar d trece prin A(1,3): y − 3 = −(x − 1).
  • Ecuația dreptei d: y = −x + 4.

  • Răspuns

    d: y = −x + 4

  • Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC, știind că AB = 2, AC = 2√3 și B = π3.
π/322√3ABC
  • Teorema cosinusului: AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos B, adică 12 = 4 + BC² − 2·2·BC·(12).
  • BC² − 2BC − 8 = 0 ⇔ (BC − 4)(BC + 2) = 0, iar BC > 0, deci BC = 4.

  • Răspuns

    BC = 4

  • Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră a un număr real nenul și matricea A(x) = 1+2x0−4x0a0x01−2x, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(x)) = a, pentru orice număr real x.
  • Dezvoltând după linia a doua: det(A(x)) = a·1+2x−4xx1−2x = a((1 + 2x)(1 − 2x) + 4x²).
  • = a(1 − 4x² + 4x²) = a, pentru orice x real.

  • Răspuns

    det(A(x)) = a

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real nenul a astfel încât A(x)·A(y) = A(x + y), pentru orice numere reale x și y.
  • A(x)·A(y) = 1+2(x+y)0−4(x+y)0a²0x+y01−2(x+y) (de exemplu, primul element: (1 + 2x)(1 + 2y) − 4xy = 1 + 2x + 2y).
  • A(x + y) = 1+2(x+y)0−4(x+y)0a0x+y01−2(x+y).
  • Egalitatea are loc pentru orice x, y ⇔ a² = a; cum a ≠ 0, obținem a = 1.

  • Răspuns

    a = 1

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru a = 1, determinați matricea X ∈ M₃(R) pentru care A(2)·X = A(3).
  • Pentru a = 1, A(x)·A(y) = A(x + y), deci A(−2)·A(2) = A(0) = I₃: A(−2) este inversa lui A(2).
  • Înmulțim la stânga cu A(−2): X = A(−2)·A(3) = A(1).
  • X = 30−401010−1.

  • Răspuns

    X = 30−401010−1

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = [0, +∞) se definește legea de compoziție asociativă x∗y = log₂(2ˣ + 2ʸ − 1).

a) (5p) Arătați că 0∗2021 = 2021.
  • 0∗2021 = log₂(2⁰ + 2²⁰²¹ − 1) = log₂(1 + 2²⁰²¹ − 1) = log₂2²⁰²¹ = 2021.

  • Răspuns

    2021

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∗”.
  • x∗e = x ⇔ log₂(2ˣ + 2ᵉ − 1) = x ⇔ 2ˣ + 2ᵉ − 1 = 2ˣ, pentru orice x ∈ M, deci 2ᵉ = 1 și e = 0 ∈ M.
  • Verificare: 0∗x = log₂(1 + 2ˣ − 1) = log₂2ˣ = x și, analog, x∗0 = x, pentru orice x ∈ M.

  • Răspuns

    e = 0

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați x ∈ M pentru care x∗(x + 1)∗(x + 2) = log₂54.
  • x∗(x + 1) = log₂(2ˣ + 2x+1 − 1), deci x∗(x + 1)∗(x + 2) = log₂(2ˣ + 2x+1 − 1 + 2x+2 − 1) = log₂(7·2ˣ − 2).
  • log₂(7·2ˣ − 2) = log₂54 ⇔ 7·2ˣ − 2 = 54 ⇔ 2ˣ = 8, deci x = 3 ∈ M.

  • Răspuns

    x = 3

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √x² + x + 1x² + 1.

Vezi graficul funcției f
−4−3−2−112340,20,40,60,811,21,4xy

a) (5p) Arătați că f'(x) = 1 − x²2(x² + 1)√((x² + x + 1)(x² + 1)), x∈R.
  • Fie u(x) = x² + x + 1x² + 1; u'(x) = (2x + 1)(x² + 1) − 2x(x² + x + 1)(x² + 1)² = 1 − x²(x² + 1)².
  • f'(x) = u'(x)2√(u(x)) = 1 − x²(x² + 1)² · √(x² + 1)2√(x² + x + 1).
  • Cum (x² + 1)² = (x² + 1)·√x² + 1·√x² + 1, obținem f'(x) = 1 − x²2(x² + 1)√((x² + x + 1)(x² + 1)).

  • Răspuns

    f'(x) = 1 − x²2(x² + 1)√((x² + x + 1)(x² + 1))

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f.
  • limx→−∞ x² + x + 1x² + 1 = 1 (raportul coeficienților dominanți), deci limx→−∞ f(x) = √1 = 1.
  • Asimptota orizontală spre −∞ este dreapta y = 1.

  • Răspuns

    y = 1

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că √2 ≤ √x² + x + 1x² + 1 + √x² − x + 1x² + 1 ≤ √6, pentru orice număr real x.
  • Semnul lui f' e semnul lui 1 − x²: f descrescătoare pe (−∞, −1], crescătoare pe [−1, 1], descrescătoare pe [1, +∞).
  • f(−1) = √12 = √22, f(1) = √32 = √62, iar limx→±∞ f(x) = 1. Deci √22 ≤ f(x) ≤ √62, pentru orice x real.
  • Al doilea radical este f(−x) = √x² − x + 1x² + 1, care respectă aceleași margini.
  • Adunând: √2 ≤ f(x) + f(−x) ≤ √6, adică inegalitatea cerută.

  • Răspuns

    √2 ≤ f(x) + f(−x) ≤ √6

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 2x + 3 − 2ln x.

Vezi graficul funcției f
123456567891011xy

a) (5p) Arătați că ∫[1,3] (f(x) + 2ln x) dx = 14.
  • f(x) + 2ln x = 2x + 3.
  • ∫[1,3] (2x + 3) dx = [x² + 3x] de la 1 la 3 = (9 + 9) − (1 + 3) = 14.

  • Răspuns

    14

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Calculați ∫[1,e] (2x + 3 − f(x)) dx.
  • 2x + 3 − f(x) = 2ln x, deci integrala este 2∫[1,e] ln x dx.
  • Prin părți: ∫ ln x dx = x·ln x − ∫ x·(1x) dx = x·ln x − x.
  • 2[x·ln x − x] de la 1 la e = 2((e − e) − (0 − 1)) = 2.

  • Răspuns

    2

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că ∫[0,1] x²f(x³ + 1) dx = 4(2 − ln2)3.
  • Substituția t = x³ + 1, dt = 3x² dx; x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 2: integrala devine (13)∫[1,2] f(t) dt.
  • O primitivă a lui f(t) = 2t + 3 − 2ln t este t² + 3t − 2(t·ln t − t) = t² + 5t − 2t·ln t.
  • (13)[t² + 5t − 2t·ln t] de la 1 la 2 = (13)((4 + 10 − 4ln2) − 6) = 8 − 4ln23 = 4(2 − ln2)3.

  • Răspuns

    4(2 − ln2)3

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M2 științe ale naturii

Toate subiectele oficiale, din 2013 încoace →