Rezolvare BAC 2021 Matematică M2 științe ale naturii, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din modelul 2021 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numerele log₂3, log₂6 și log₂12 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

log₂3 + log₂12 = log₂36 = log₂6² = 2log₂6.
Deci termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor săi, așa că numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Răspuns
log₂3 + log₂12 = 2log₂6
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − x + 1. Determinați numărul real x pentru care f(x) = x.

x² − x + 1 = x ⇔ x² − 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)² = 0.
Deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația |2x − 1| = 2x + 1.

Ecuația e echivalentă cu 2x − 1 = 2x + 1 sau 2x − 1 = −(2x + 1), cu 2x + 1 ≥ 0.
Prima egalitate dă −1 = 1, imposibil. A doua dă 4x = 0, deci x = 0, iar 2·0 + 1 = 1 ≥ 0, deci convine.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor pară și cifra unităților impară.

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
Cifra zecilor pară: 2, 4, 6, 8 (4 variante, 0 nu poate fi prima cifră); cifra unităților impară: 1, 3, 5, 7, 9 (5 variante). Cazuri favorabile: 4·5 = 20.
p = 2090 = 29.
Răspuns
p = 29
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) Determinați numărul real a, pentru care vectorii u = a·i + j și v = 8i + 2j sunt coliniari.

Vectorii sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale: a8 = 12.
Deci a = 4.
Răspuns
a = 4
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) În triunghiul ABC dreptunghic în A, BC = 12 și B = π6. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 18√3.

cos B = ABBC, deci √32 = AB12 și AB = 6√3.
Aria = (12)·AB·BC·sin B = (12)·6√3·12·(12) = 18√3.
Răspuns
18√3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 2a−14a−41−a3−2a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 1.

A(2) = 34−1−1.
det(A(2)) = 34−1−1 = 3·(−1) − (−1)·4 = −3 + 4 = 1.
Răspuns
det(A(2)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(a)·A(b) = A(a + b − 1), pentru orice numere reale a și b.

A(a)·A(b) = 2a−14a−41−a3−2a·2b−14b−41−b3−2b = 2a+2b−34a+4b−8−a−b+2−2a−2b+5.
Scriem elementele cu a + b − 1: 2(a+b−1)−14(a+b−1)−41−(a+b−1)3−2(a+b−1) = A(a + b − 1).
Răspuns
A(a)·A(b) = A(a + b − 1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul natural n, știind că A(1)·A(2)·A(2²)·A(2³)·A(2⁴) = A(32)·A(−n).

Din b), la fiecare înmulțire argumentele se adună și se scade 1. Pentru produsul a 5 matrice se scade 1 de 4 ori:
A(1)·A(2)·A(2²)·A(2³)·A(2⁴) = A(1 + 2 + 4 + 8 + 16 − 4) = A(27).
A(32)·A(−n) = A(32 − n − 1) = A(31 − n).
Elementul din colțul stâng-sus, 2a − 1, determină pe a, deci 31 − n = 27 și n = 4.
Răspuns
n = 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = 3x² − 5xy + 2y².

a) (5p) Arătați că 1∘2 = 1.

1∘2 = 3·1² − 5·1·2 + 2·2² = 3 − 10 + 8 = 1.
Răspuns
1∘2 = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x∘x = 0, pentru orice număr real x.

x∘x = 3x² − 5x² + 2x² = 0, pentru orice număr real x.
Răspuns
x∘x = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care 2ˣ∘3ˣ = 0.

2ˣ∘3ˣ = 3·2²ˣ − 5·2ˣ·3ˣ + 2·3²ˣ = 3·2ˣ(2ˣ − 3ˣ) − 2·3ˣ(2ˣ − 3ˣ) = (2ˣ − 3ˣ)(3·2ˣ − 2·3ˣ).
Produsul e 0 dacă 2ˣ = 3ˣ, adică (23)ˣ = 1, deci x = 0.
Sau 3·2ˣ = 2·3ˣ ⇔ 2ˣ⁻¹ = 3ˣ⁻¹ ⇔ (23)ˣ⁻¹ = 1, deci x = 1.
Răspuns
x ∈ {0, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √x² + 2x + 2 − x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x + 1√(x² + 2x + 2) − 1, x ∈ R.

(√u)' = u'2√u, cu u = x² + 2x + 2 și u' = 2x + 2.
f'(x) = 2(x + 1)2√(x² + 2x + 2) − 1 = x + 1√(x² + 2x + 2) − 1.
Răspuns
f'(x) = x + 1√(x² + 2x + 2) − 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = −1, situat pe graficul funcției f.

f(−1) = √1 − 2 + 2 + 1 = 2 și f'(−1) = 01 − 1 = −1.
Tangenta: y − f(−1) = f'(−1)(x + 1), adică y − 2 = −(x + 1), deci y = −x + 1.
Răspuns
y = −x + 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că √(x² + 1)² + 2(x² + 1) + 2 − √4x² + 4x + 2 ≤ (x − 1)², pentru orice număr real x.

x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1 > (x + 1)², deci √x² + 2x + 2 > |x + 1| ≥ x + 1 și f'(x) < 0: f e descrescătoare pe R.
x² + 1 − 2x = (x − 1)² ≥ 0, deci x² + 1 ≥ 2x și, f fiind descrescătoare, f(x² + 1) ≤ f(2x).
f(x² + 1) = √(x² + 1)² + 2(x² + 1) + 2 − (x² + 1) și f(2x) = √4x² + 4x + 2 − 2x.
Inegalitatea f(x² + 1) ≤ f(2x) se rescrie √(x² + 1)² + 2(x² + 1) + 2 − √4x² + 4x + 2 ≤ x² + 1 − 2x = (x − 1)².
Răspuns
inegalitatea e adevărată pentru orice x real
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x√(x² + 1).