Rezolvare BAC 2021 Matematică M1 mate-info, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din modelul 2021 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul N = log₂6 − 2log₂3 + log₂24 este natural.

2log₂3 = log₂3² = log₂9, deci N = log₂6 − log₂9 + log₂24.
N = log₂(6·249) = log₂16 = 4, care este număr natural.
Răspuns
N = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − x + 2. Arătați că dreapta de ecuație y = 2 intersectează graficul funcției f în două puncte distincte.

Punctele de intersecție au abscisele soluții ale ecuației f(x) = 2 ⇔ x² − x + 2 = 2 ⇔ x² − x = 0.
x(x − 1) = 0 are două soluții reale distincte, x = 0 și x = 1, deci dreapta y = 2 intersectează graficul în două puncte distincte: (0, 2) și (1, 2).
Răspuns
punctele (0, 2) și (1, 2)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x² − 5 = √3x − 1.

Ridicând la pătrat: x² − 5 = 3x − 1, deci x² − 3x − 4 = 0.
Soluțiile ecuației de gradul al doilea sunt x = −1 și x = 4.
Pentru x = −1: 3x − 1 = −4 < 0, deci nu convine. Pentru x = 4: x² − 5 = 11 și 3x − 1 = 11, deci convine.
Răspuns
x = 4
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi A, știind că mulțimea A are exact 15 submulțimi cu două elemente.

Dacă A are n elemente (n ∈ N, n ≥ 2), numărul submulțimilor cu 2 elemente este C(n,2) = n(n − 1)2.
n(n − 1)2 = 15 ⇔ n(n − 1) = 30 ⇔ n² − n − 30 = 0, cu soluția naturală n = 6.
Răspuns
6 elemente
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) Se consideră triunghiul ABC și punctele M, N și P mijloacele segmentelor BC, BM, respectiv CM. Arătați că AM + AN + AP = (32)(AB + AC) (vectori).

M este mijlocul lui BC, deci AM = (12)(AB + AC) (vectori).
Cum BN = NM = MP = PC, M este și mijlocul lui NP, deci AM = (12)(AN + AP), adică AN + AP = 2AM.
AM + AN + AP = 3AM = (32)(AB + AC).
Răspuns
AM + AN + AP = (32)(AB + AC)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Determinați x ∈ (0, π), știind că sin 2x + 2sin²x = 0.

sin 2x = 2sin x·cos x, deci ecuația devine 2sin x·cos x + 2sin²x = 0 ⇔ 2sin x(cos x + sin x) = 0.
Pe (0, π), sin x > 0, deci cos x + sin x = 0, adică tg x = −1.
Singura soluție din (0, π) este x = 3π4.
Răspuns
x = 3π4
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a,b,c) = 111abcbcacab, unde a, b și c sunt numere reale.

a) (5p) Arătați că det(A(0,1,2)) = 2.

A(0,1,2) = 111012200.
det(A(0,1,2)) = 111012200 = 0 + 0 + 4 − 2 − 0 − 0 = 2.
Răspuns
det(A(0,1,2)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că det(A(a,b,c)) = (b − a)(c − a)(c − b), pentru orice numere reale a, b și c.

Scădem prima coloană din a doua și din a treia: det(A(a,b,c)) = 100ab−ac−abcac−bcab−bc.
ac − bc = −c(b − a) și ab − bc = −b(c − a).
Dezvoltând după prima linie: det = b−ac−a−c(b−a)−b(c−a) = (b − a)(c − a)·(−b + c) = (b − a)(c − a)(c − b).
Răspuns
det(A(a,b,c)) = (b − a)(c − a)(c − b)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, dacă m, n și p sunt numere naturale, cu m < n < p, astfel încât determinantul matricei A(m,n,p) este număr prim, atunci numerele m, n și p sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Din b): det(A(m,n,p)) = (n − m)(p − m)(p − n).
Cum m < n < p sunt naturale, toți factorii sunt naturali nenuli și p − m > p − n, p − m > n − m, deci p − m ≥ 2.
Un număr prim are un singur factor mai mare ca 1 într-o descompunere în produs; cum p − m ≥ 2, ceilalți factori sunt egali cu 1: p − n = n − m = 1.
Deci n − m = p − n, adică n = m + p2: m, n, p sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Răspuns
p − n = n − m = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

În mulțimea Z₃[X] se consideră polinomul f = X⁴ + aX³ + 2̂X + b, unde a, b ∈ Z₃.

a) (5p) Pentru a = 1̂ și b = 2̂, arătați că f(0̂) + f(2̂) = 2̂.

f = X⁴ + X³ + 2̂X + 2̂, deci f(0̂) = 2̂.
f(2̂) = 16 + 8 + 4 + 2 = 30, iar 30 se împarte exact la 3, deci f(2̂) = 0̂.
f(0̂) + f(2̂) = 2̂ + 0̂ = 2̂.
Răspuns
f(0̂) + f(2̂) = 2̂
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați perechile (a, b), cu a, b ∈ Z₃, pentru care polinomul f este divizibil cu X + 2̂.

În Z₃, X + 2̂ = X − 1̂, deci f e divizibil cu X + 2̂ ⇔ f(1̂) = 0̂.
f(1̂) = 1̂ + a + 2̂ + b = a + b (fiindcă 1̂ + 2̂ = 0̂), deci condiția este a + b = 0̂.
În Z₃: (0̂, 0̂), (1̂, 2̂) și (2̂, 1̂).
Răspuns
(0̂, 0̂), (1̂, 2̂), (2̂, 1̂)
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că, pentru orice a, b ∈ Z₃, există x, y ∈ Z₃, cu x ≠ y, astfel încât f(x) = f(y).

f(0̂) + f(1̂) + f(2̂) = (0 + 1 + 16) + a(0 + 1 + 8) + 2̂(0 + 1 + 2) + 3b = 2̂ + 0̂ + 0̂ + 0̂ = 2̂, pentru orice a, b ∈ Z₃.
Dacă f(0̂), f(1̂), f(2̂) ar fi distincte două câte două, ar fi chiar 0̂, 1̂, 2̂ într-o ordine, cu suma 0̂ + 1̂ + 2̂ = 0̂ ≠ 2̂ — contradicție.
Deci două dintre valori coincid: există x ≠ y în Z₃ cu f(x) = f(y).
Răspuns
două dintre f(0̂), f(1̂), f(2̂) sunt egale
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x·eˣeˣ + 2.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ(eˣ + 2x + 2)(eˣ + 2)², x ∈ R.

f'(x) = (eˣ + x·eˣ)(eˣ + 2) − x·eˣ·eˣ(eˣ + 2)².
Numărătorul: e²ˣ + 2eˣ + x·e²ˣ + 2x·eˣ − x·e²ˣ = e²ˣ + 2eˣ + 2x·eˣ = eˣ(eˣ + 2x + 2).
Deci f'(x) = eˣ(eˣ + 2x + 2)(eˣ + 2)².
Răspuns
f'(x) = eˣ(eˣ + 2x + 2)(eˣ + 2)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că dreapta de ecuație y = x este asimptotă oblică spre +∞ la graficul funcției f.

m = limx→+∞ f(x)x = limx→+∞ eˣeˣ + 2 = limx→+∞ 11 + 2e⁻ˣ = 1.
n = limx→+∞ (f(x) − x) = limx→+∞ x·eˣ − x(eˣ + 2)eˣ + 2 = limx→+∞ −2xeˣ + 2 = 0 (exponențiala crește mai repede).
Deci y = 1·x + 0 = x este asimptotă oblică spre +∞.
Răspuns
y = x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că funcția f are un unic punct de extrem.

Semnul lui f' este semnul lui g(x) = eˣ + 2x + 2, fiindcă eˣ > 0 și (eˣ + 2)² > 0.
g e strict crescătoare (sumă de funcții strict crescătoare) și continuă, cu limx→−∞ g(x) = −∞ și limx→+∞ g(x) = +∞, deci există un unic c ∈ R cu g(c) = 0.
f'(x) < 0 pe (−∞, c), deci f e strict descrescătoare acolo, și f'(x) > 0 pe (c, +∞), deci f e strict crescătoare.
f' își schimbă semnul doar în c, deci x = c este unicul punct de extrem (punct de minim).
Răspuns
un unic punct de extrem (minim)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2(x + 3)√(x² + 4x + 5).