Rezolvare BAC 2017 Matematică M1 mate-info, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea a II-a (toamnă) 2017 (Proba E.c) — sesiunea de toamnă 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe z₁ = 2 + 3i și z₂ = 1 + 2i. Arătați că 2z₁ − 3z₂ = 1.

2z₁ = 4 + 6i și 3z₂ = 3 + 6i.
2z₁ − 3z₂ = 4 + 6i − 3 − 6i = 1.
Răspuns
2z₁ − 3z₂ = 1
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră x₁ și x₂ soluțiile ecuației x² − 3mx + 2 = 0, unde m este număr real. Determinați numărul real m, știind că x₁ + x₂ + x₁x₂ + 1 = 0.

Din relațiile lui Viète: x₁ + x₂ = 3m și x₁x₂ = 2.
Relația devine 3m + 2 + 1 = 0, adică 3m + 3 = 0, deci m = −1.
Răspuns
m = −1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄(x + 3) + log₄(x − 3) = 2.

Condiții: x + 3 > 0 și x − 3 > 0, deci x > 3.
log₄((x + 3)(x − 3)) = 2 ⇒ x² − 9 = 4² = 16 ⇒ x² = 25.
x = −5 nu convine (nu e mai mare decât 3), x = 5 convine.
Răspuns
x = 5
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 6.

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
6 = 1·6 = 2·3, deci numerele favorabile sunt 16, 61, 23 și 32: 4 cazuri favorabile.
p = 490 = 245.
Răspuns
p = 245
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) Determinați numărul real a, pentru care vectorii u = a·i + 2·j și v = 3·i − 3·j sunt coliniari.

Vectorii sunt coliniari dacă au coordonatele proporționale: a3 = 2−3.
Deci −3a = 6, adică a = −2.
Răspuns
a = −2
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că (sin x − cos x)² + sin2x = 1, pentru orice număr real x.

(sin x − cos x)² = sin²x − 2sin x·cos x + cos²x, iar sin2x = 2sin x·cos x.
Suma: sin²x − 2sin x·cos x + cos²x + 2sin x·cos x = sin²x + cos²x = 1.
Răspuns
(sin x − cos x)² + sin2x = 1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = x11x+1111x1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = −1.

A(0) = 011111101.
det(A(0)) = 011111101 = 0 + 1 + 0 − 1 − 0 − 1 = −1.
Răspuns
det(A(0)) = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(A(x))·det(A(x + 1)) = 12.

Dezvoltând după prima linie: det(A(x)) = x(1 − x) − (x + 1 − 1) + ((x + 1)x − 1) = x − x² − x + x² + x − 1 = x − 1.
Deci det(A(x + 1)) = x, iar ecuația devine (x − 1)·x = 12, adică x² − x − 12 = 0.
Soluțiile: x = −3 sau x = 4.
Răspuns
x ∈ {−3, 4}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați matricea X ∈ M₃(R) pentru care A(2)·X = A(0).

A(2) = 211311121, cu det(A(2)) = 2 + 1 + 6 − 1 − 4 − 3 = 1 ≠ 0, deci A(2) e inversabilă.
Calculând adjuncta: (A(2))⁻¹ = −110−2115−3−1.
X = (A(2))⁻¹·A(0) = −110−2115−3−1·011111101 = 1002−10−421.
Răspuns
X = 1002−10−421
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ − (m + 2)X² + (m² + 2)X − 1, unde m este număr real.

a) (5p) Arătați că f(0) = −1, pentru orice număr real m.

f(0) = 0 − (m + 2)·0 + (m² + 2)·0 − 1 = −1, pentru orice număr real m.
Răspuns
f(0) = −1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că (x₁ − x₂)² + (x₂ − x₃)² + (x₃ − x₁)² = −4(m − 1)², pentru orice număr real m, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Viète: x₁ + x₂ + x₃ = m + 2 și x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = m² + 2.
x₁² + x₂² + x₃² = (m + 2)² − 2(m² + 2) = −m² + 4m.
Suma cerută = 2(x₁² + x₂² + x₃²) − 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = 2(−m² + 4m) − 2(m² + 2) = −4m² + 8m − 4 = −4(m − 1)².
Răspuns
−4(m − 1)²
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real m pentru care toate rădăcinile polinomului f sunt numere reale.

Dacă x₁, x₂, x₃ sunt reale, atunci (x₁ − x₂)² + (x₂ − x₃)² + (x₃ − x₁)² ≥ 0.
Din b): −4(m − 1)² ≥ 0, adică (m − 1)² ≤ 0, deci m = 1.
Pentru m = 1: f = X³ − 3X² + 3X − 1 = (X − 1)³, cu toate rădăcinile reale (egale cu 1).
Răspuns
m = 1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2eˣ − x² − 2x − 2.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2(eˣ − x − 1), x∈R.

f'(x) = 2eˣ − 2x − 2.
Scoatem factor comun 2: f'(x) = 2(eˣ − x − 1).
Răspuns
f'(x) = 2(eˣ − x − 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f, în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = 2 − 0 − 0 − 2 = 0 și f'(0) = 2(1 − 0 − 1) = 0.
Tangenta: y − f(0) = f'(0)(x − 0), adică y = 0.
Răspuns
y = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că funcția f este crescătoare pe R.

f''(x) = 2(eˣ − 1), x∈R.
Pentru x ≤ 0, eˣ ≤ 1, deci f''(x) ≤ 0 și f' e descrescătoare pe (−∞, 0]; pentru x ≥ 0, f''(x) ≥ 0 și f' e crescătoare pe [0, +∞).
Deci f'(x) ≥ f'(0) = 0 pentru orice x real, de unde f este crescătoare pe R.
Răspuns
f'(x) ≥ 0 pe R, deci f e crescătoare
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x + 2)ⁿ, unde n este număr natural nenul.

a) (5p) Arătați că ∫[−2,1] (x + 2)² dx = 9.

O primitivă a lui (x + 2)² este (x + 2)³3.
∫[−2,1] (x + 2)² dx = [(x + 2)³3] de la −2 la 1 = 273 − 0 = 9.
Răspuns
9
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Pentru n = 1, arătați că ∫[0,1] f(x)eˣ dx = 2e − 1.

Pentru n = 1, f(x) = x + 2. Prin părți: ∫[0,1] (x + 2)eˣ dx = [(x + 2)eˣ] de la 0 la 1 − ∫[0,1] eˣ dx.
[(x + 2)eˣ] de la 0 la 1 = 3e − 2, iar ∫[0,1] eˣ dx = e − 1.
Rezultatul: 3e − 2 − (e − 1) = 2e − 1.
Răspuns
2e − 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul natural nenul n pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = −1 și x = 1 are aria egală cu 242n + 1.

Pe [−1, 1], x + 2 > 0, deci f(x) ≥ 0 și aria este ∫[−1,1] (x + 2)ⁿ dx.
∫[−1,1] (x + 2)ⁿ dx = [(x + 2)ⁿ⁺¹n + 1] de la −1 la 1 = 3ⁿ⁺¹ − 1n + 1.
3ⁿ⁺¹ − 1n + 1 = 242n + 1 ⇔ 3ⁿ⁺¹ = 243 = 3⁵ ⇔ n + 1 = 5, deci n = 4.
Răspuns
n = 4
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri