Rezolvare BAC 2022 Matematică M1 mate-info, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea a II-a (august) 2022 (Proba E.c) — august 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 2i(3 − i) − 6i = 2, unde i² = −1.

2i(3 − i) = 6i − 2i², deci expresia este 6i − 2i² − 6i = −2i².
−2i² = −2·(−1) = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − mx, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care f(−1) = f(1).

f(−1) = 1 + m și f(1) = 1 − m.
1 + m = 1 − m, de unde m = 0.
Răspuns
m = 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 27ˣ⁻¹ = 9ˣ.

27 = 3³ și 9 = 3², deci 3³ˣ⁻³ = 3²ˣ.
3x − 3 = 2x, deci x = 3.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mici sau egale cu 3.

Numerele naturale de două cifre sunt 90: 90 de cazuri posibile.
Cifra zecilor poate fi 1, 2 sau 3, iar a unităților 0, 1, 2 sau 3: 3·4 = 12 cazuri favorabile.
p = 1290 = 215.
Răspuns
p = 215
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 2) și B(1, −1). Determinați coordonatele punctului C pentru care AC = 2BC (vectori).

AC = 2BC înseamnă că B e mijlocul segmentului AC.
x_C + 32 = 1 și y_C + 22 = −1, de unde x_C = −1 și y_C = −4.
Răspuns
C(−1, −4)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră expresia E(x) = sin 2x − 2tg x·sin(2x3), unde x∈(0, π2). Arătați că E(π4) = 0.

Pentru x = π4: sin(π2) = 1, tg(π4) = 1 și sin(π6) = 12.
E(π4) = 1 − 2·1·(12) = 1 − 1 = 0.
Răspuns
E(π4) = 0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = x1−x11−xx1110, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 2.

A(0) = 011101110.
det(A(0)) = 0 + 1 + 1 − 0 − 0 − 0 = 2.
Răspuns
det(A(0)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(1)·A(x) − A(x − 1) = 2I₃, pentru orice număr real x.

A(1) = 101011110, deci A(1)·A(x) = x+12−x12−xx+11112.
A(x − 1) = x−12−x12−xx−11110.
A(1)·A(x) − A(x − 1) = 200020002 = 2I₃.
Răspuns
A(1)·A(x) − A(x − 1) = 2I₃
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care A(1)·A(1)·A(x) = 3A(1) + 2I₃.

Din b): A(1)·A(x) = A(x − 1) + 2I₃, deci A(1)·A(1)·A(x) = A(1)·A(x − 1) + 2A(1).
Tot din b): A(1)·A(x − 1) = A(x − 2) + 2I₃, deci A(1)·A(1)·A(x) = A(x − 2) + 2I₃ + 2A(1).
Egalitatea devine A(x − 2) + 2I₃ + 2A(1) = 3A(1) + 2I₃, adică A(x − 2) = A(1).
x − 2 = 1, deci x = 3.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = [0, +∞) se definește legea de compoziție x ∗ y = xy(x + y)xy + 1.

a) (5p) Arătați că 1 ∗ 3 = 3.

1 ∗ 3 = 1·3·(1 + 3)1·3 + 1 = 3·44 = 3.
Răspuns
1 ∗ 3 = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x ∗ 1 = x·1·(x + 1)x·1 + 1 = x(x + 1)x + 1 = x, pentru orice x∈M.
1 ∗ x = 1·x·(1 + x)1·x + 1 = x, pentru orice x∈M.
Deci e = 1 este elementul neutru.
Răspuns
e = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile (m, n) de numere naturale nenule, cu m ≤ n, pentru care (1m) ∗ (1n) = (116)·(m ∗ n).

(1m) ∗ (1n) = m + nmn(mn + 1) (se înmulțesc numărătorul și numitorul cu m²n²).
(116)·(m ∗ n) = mn(m + n)16(mn + 1).
Egalitatea (cu m + n > 0 și mn + 1 > 0) devine 1mn = mn16, adică m²n² = 16, deci mn = 4.
Cu m ≤ n naturale nenule: (m, n) = (1, 4) sau (2, 2).
Răspuns
(1, 4) și (2, 2)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 3x + 1eˣ.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (x − 1)(4 − x)eˣ, x∈R.

f'(x) = (2x − 3)eˣ − (x² − 3x + 1)eˣ(eˣ)² = 2x − 3 − x² + 3x − 1eˣ.
f'(x) = −x² + 5x − 4eˣ = (x − 1)(4 − x)eˣ.
Răspuns
f'(x) = (x − 1)(4 − x)eˣ
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că axa Ox este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ x² − 3x + 1eˣ e de forma ∞/∞; aplicând de două ori regula lui l'Hôpital: limx→+∞ 2x − 3eˣ = limx→+∞ 2eˣ = 0.
Deci dreapta y = 0, adică axa Ox, este asimptotă orizontală spre +∞.
Răspuns
limx→+∞ f(x) = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ecuația f(x) = n are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n.

f'(x) = 0 ⇔ x = 1 sau x = 4; f e strict descrescătoare pe (−∞, 1), strict crescătoare pe (1, 4) și strict descrescătoare pe (4, +∞).
Pe (−∞, 1], f e continuă și strict descrescătoare, de la limx→−∞ f(x) = +∞ până la f(1) = −1e: orice n ≥ 1 e atins exact o dată.
Pe [1, +∞), valoarea cea mai mare e f(4) = 5e⁴ < 1 ≤ n, deci acolo ecuația nu are soluții.
Deci ecuația f(x) = n are soluție unică.
Răspuns
Soluție unică, pe (−∞, 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x√x² + 4.