Rezolvare BAC 2017 Matematică M1 mate-info, sesiunea I, rezervă

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea I, rezervă 2017 (Varianta de rezervă a sesiunii din vară 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe z₁ = 5 + 2i și z₂ = 3 − 3i. Arătați că 3z₁ + 2z₂ = 21.

3z₁ + 2z₂ = 3(5 + 2i) + 2(3 − 3i) = 15 + 6i + 6 − 6i.
Termenii cu i se reduc: 15 + 6 = 21.
Răspuns
3z₁ + 2z₂ = 21
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = x + 1 și g:R→R, g(x) = x² − x + 2. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

Punem f(x) = g(x): x + 1 = x² − x + 2, adică x² − 2x + 1 = 0.
(x − 1)² = 0, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3ˣ²⁺³ = 3·3³ˣ.

3·3³ˣ = 3³ˣ⁺¹, deci ecuația devine 3ˣ²⁺³ = 3³ˣ⁺¹.
Exponenții sunt egali: x² + 3 = 3x + 1, adică x² − 3x + 2 = 0.
(x − 1)(x − 2) = 0, deci x = 1 sau x = 2.
Răspuns
x ∈ {1, 2}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 3 și cu 5.

Sunt 90 de numere naturale de două cifre (10, …, 99): 90 de cazuri posibile.
Divizibil cu 3 și cu 5 înseamnă divizibil cu 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, adică 6 cazuri favorabile.
p = 690 = 115.
Răspuns
p = 115
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,2), B(2,4) și C(m,0), unde m este număr real. Determinați numărul real m, știind că punctele A, B și C sunt coliniare.

Panta lui AB este 4 − 22 − 0 = 1, deci dreapta AB are ecuația y = x + 2.
C aparține dreptei AB: 0 = m + 2, deci m = −2.
Răspuns
m = −2
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC, știind că AB = 4, AC = 8 și A = π3.

Teorema cosinusului: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos A.
BC² = 16 + 64 − 2·4·8·(12) = 80 − 32 = 48.
BC = √48 = 4√3.
Răspuns
BC = 4√3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = 2−x0x−10102(1−x)02x−1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 2.

A(2) = 001010−203.
Dezvoltând după linia a doua: det(A(2)) = 1·01−23 = 0 − (−2) = 2.
Răspuns
det(A(2)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că det(A(x)A(−x)) ≤ 0, pentru orice număr real x.

Dezvoltând după linia a doua: det(A(x)) = 2−xx−12(1−x)2x−1 = (2 − x)(2x − 1) + 2(x − 1)².
(2 − x)(2x − 1) + 2(x − 1)² = −2x² + 5x − 2 + 2x² − 4x + 2 = x, deci det(A(x)) = x.
det(A(x)A(−x)) = det(A(x))·det(A(−x)) = x·(−x) = −x² ≤ 0, pentru orice număr real x.
Răspuns
det(A(x)A(−x)) = −x² ≤ 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că, dacă numerele naturale m și n verifică relația A(m)A(n) = A(2), atunci m + n = 3.

Calculând produsul, de exemplu elementul din colțul stânga-sus: (2 − m)(2 − n) + (m − 1)·2(1 − n) = 4 − 2m − 2n + mn + 2m − 2 − 2mn + 2n = 2 − mn.
La fel pentru celelalte elemente: A(m)A(n) = 2−mn0mn−10102(1−mn)02mn−1 = A(mn).
Din A(mn) = A(2) (de exemplu din primul element, 2 − mn = 0) obținem mn = 2.
m și n sunt naturale, deci {m, n} = {1, 2} și m + n = 3.
Răspuns
m + n = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ + 2X² + aX + 1, unde a este număr real.

a) (5p) Determinați numărul real a, știind că f(1) = 0.

f(1) = 1 + 2 + a + 1 = a + 4.
a + 4 = 0, deci a = −4.
Răspuns
a = −4
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Pentru a = 2, calculați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X² + X + 1.

Pentru a = 2: f = X³ + 2X² + 2X + 1.
(X + 1)(X² + X + 1) = X³ + X² + X + X² + X + 1 = X³ + 2X² + 2X + 1 = f.
Deci câtul este X + 1, iar restul este 0.
Răspuns
câtul X + 1, restul 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale a pentru care rădăcinile polinomului f au modulele egale.

Din relațiile lui Viète, x₁x₂x₃ = −1, deci |x₁|·|x₂|·|x₃| = 1; cum modulele sunt egale, |x₁| = |x₂| = |x₃| = 1.
f are grad 3 și coeficienți reali, deci are cel puțin o rădăcină reală, care (având modulul 1) este −1 sau 1.
Dacă f(−1) = 0: −1 + 2 − a + 1 = 0, deci a = 2; atunci f = (X + 1)(X² + X + 1), iar rădăcinile lui X² + X + 1 sunt −1 ± i√32, cu modulul √14 + 34 = 1. Convine.
Dacă f(1) = 0: a = −4 și f = (X − 1)(X² + 3X − 1), cu rădăcinile −3 ± √132, care nu au modulul 1. Nu convine.
Răspuns
a = 2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R, f(x) = eˣ − 1 − ln(x + 2).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ − 1x + 2, x ∈ (−2,+∞).

(eˣ)' = eˣ, (1)' = 0 și (ln(x + 2))' = (x + 2)'x + 2 = 1x + 2.
f'(x) = eˣ − 0 − 1x + 2 = eˣ − 1x + 2.
Răspuns
f'(x) = eˣ − 1x + 2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că funcția f este convexă pe (−2,+∞).

f''(x) = eˣ + 1(x + 2)², x ∈ (−2,+∞).
eˣ > 0 și 1(x + 2)² > 0, deci f''(x) > 0 pe (−2,+∞), așadar f este convexă pe (−2,+∞).
Răspuns
f''(x) > 0, deci f e convexă
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Calculați limx→+∞ f(x)x.

f(x)x = eˣ − 1x − ln(x + 2)x.
limx→+∞ eˣ − 1x = limx→+∞ eˣ = +∞ (regula lui l'Hôpital, cazul ∞/∞).
limx→+∞ ln(x + 2)x = limx→+∞ 1x + 2 = 0 (tot l'Hôpital).
Deci limx→+∞ f(x)x = +∞ − 0 = +∞.
Răspuns
+∞
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[1,e] x·lnⁿx dx.

a) (5p) Arătați că ∫[1,e] x dx = e² − 12.

O primitivă a lui x este x²2.
∫[1,e] x dx = [x²2] de la 1 la e = e²2 − 12 = e² − 12.
Răspuns
e² − 12
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că Iₙ₊₁ ≤ Iₙ, pentru orice număr natural nenul n.

Pentru x ∈ [1, e] avem 0 ≤ ln x ≤ 1, deci ln x − 1 ≤ 0, iar x·lnⁿx ≥ 0.
Iₙ₊₁ − Iₙ = ∫[1,e] x·lnⁿx·(ln x − 1) dx ≤ 0, fiindcă funcția de sub integrală e ≤ 0 pe [1, e].
Deci Iₙ₊₁ ≤ Iₙ, pentru orice număr natural nenul n.
Răspuns
Iₙ₊₁ ≤ Iₙ
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 2Iₙ₊₁ + (n + 1)Iₙ = e², pentru orice număr natural nenul n.

Integrăm prin părți cu u = lnⁿ⁺¹x și v' = x: u' = (n + 1)·lnⁿxx și v = x²2.
Iₙ₊₁ = [(x²2)·lnⁿ⁺¹x] de la 1 la e − ∫[1,e] (x²2)·(n + 1)·lnⁿxx dx = e²2 − (n + 12)·∫[1,e] x·lnⁿx dx.
Deci Iₙ₊₁ = e²2 − (n + 12)·Iₙ; înmulțind cu 2: 2Iₙ₊₁ + (n + 1)Iₙ = e².
Răspuns
2Iₙ₊₁ + (n + 1)Iₙ = e²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri