Rezolvare BAC 2025 Matematică M1 mate-info, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea specială 2025 (Proba E.c) — 23.05.2025): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul b₁ al progresiei geometrice (bₙ), în care b₂ = 20 și b₃ = 100.

Rația: q = b₃b₂ = 5.
b₁ = b₂q = 205 = 4.
Răspuns
b₁ = 4
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 4x + 3 și g:R→R, g(x) = x − 3. Determinați numărul real a pentru care f(a) = g(a).

4a + 3 = a − 3, deci 3a = −6 și a = −2.
Răspuns
a = −2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9ˣ·3³ = 3ˣ⁺².

9ˣ·3³ = 3²ˣ·3³ = 3²ˣ⁺³, deci 2x + 3 = x + 2.
x = −1.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, √n să fie număr natural par.

Numerele naturale de două cifre sunt 90: 90 de cazuri posibile.
√n natural par ⇔ n e pătratul unui număr par: n∈{16, 36, 64}, adică 3 cazuri favorabile.
p = 390 = 130.
Răspuns
p = 130
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 3), B(6, 2) și C(4, a), unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care dreptele AC și OB sunt paralele.

Panta lui OB: 26 = 13; panta lui AC: a − 34 − 1 = a − 33.
Drepte paralele ⇔ pante egale: a − 33 = 13, deci a = 4.
Răspuns
a = 4
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu aria egală cu 32 și BC = AB√2. Arătați că AC = 8.

cos B = ABBC = 1√2, deci B = π4 și triunghiul e dreptunghic isoscel: AB = AC.
Aria = AB·AC2 = AC²2 = 32, deci AC² = 64 și AC = 8.
Răspuns
AC = 8
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₃ = 100010001 și M(x) = 2x3x−3−x−2x100x+1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(M(0)) = 0.

M(0) = 00−3001001.
Prima coloană are doar zerouri, deci det(M(0)) = 0.
Răspuns
det(M(0)) = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că M(x)·M(y) − xyI₃ = (x + y + 1)M(0), pentru orice numere reale x și y.

M(x)·M(y) = xy0−3x−3y−30xyx+y+100xy+x+y+1.
M(x)·M(y) − xyI₃ = 00−3(x+y+1)00x+y+100x+y+1 = (x + y + 1)M(0).
Răspuns
M(x)·M(y) − xyI₃ = (x + y + 1)M(0)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care M(1)·M(x) − M(2)·M(x2) = 2M(0).

Din b): M(1)·M(x) = xI₃ + (x + 2)M(0) și M(2)·M(x2) = xI₃ + (x2 + 3)M(0).
Diferența: (x + 2 − x2 − 3)M(0) = (x2 − 1)M(0).
(x2 − 1)M(0) = 2M(0), cu M(0) nenulă, deci x2 − 1 = 2 și x = 6.
Răspuns
x = 6
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 5(x − 1)(y − 1) + 1.

a) (5p) Arătați că 1 ∗ 3 = 1.

1 ∗ 3 = 5·0·2 + 1 = 1.
Răspuns
1 ∗ 3 = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 65 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x ∗ (65) = 5(x − 1)(65 − 1) + 1 = (x − 1) + 1 = x, pentru orice x real.
(65) ∗ x = 5(65 − 1)(x − 1) + 1 = x, pentru orice x real, deci e = 65 e elementul neutru.
Răspuns
e = 65
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile (m, n) de numere naturale pentru care m25 este simetricul elementului n în raport cu legea de compoziție „∗”.

m25 e simetricul lui n ⇔ (m25) ∗ n = 65 ⇔ 5(m25 − 1)(n − 1) + 1 = 65.
(m25 − 1)(n − 1) = 125, adică (m − 25)(n − 1) = 1.
Cu m, n naturale: m − 25 = n − 1 = 1, adică (26, 2), sau m − 25 = n − 1 = −1, adică (24, 0).
Răspuns
(24, 0) și (26, 2)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x − 2 + ln xx.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3 − ln xx², x∈(0, +∞).

f'(x) = (2 + 1/x)·x − (2x − 2 + ln x)x² = 2x + 1 − 2x + 2 − ln xx².
f'(x) = 3 − ln xx².
Răspuns
f'(x) = 3 − ln xx²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→1 f(x)ln x = 3.

f(x)ln x = 2x − 2 + ln xx·ln x, de forma 00 în x = 1.
Regula lui l'Hôpital: limx→1 2 + 1/xln x + 1 = 31 = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați cel mai mare număr întreg m pentru care ecuația f(x) = m are cel puțin o soluție.

f'(x) = 0 ⇔ x = e³; f e crescătoare pe (0, e³] și descrescătoare pe [e³, +∞).
limx→0 f(x) = −∞ și f(e³) = 2e³ + 1e³ = 2 + 1e³, iar pe [e³, +∞) f descrește spre 2.
f e continuă, deci ia exact valorile din (−∞, 2 + 1e³], iar 2 < 2 + 1e³ < 3.
Cel mai mare întreg m pentru care ecuația are soluție este m = 2.
Răspuns
m = 2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 4eˣ.