Rezolvare BAC 2025 Matematică M3 pedagogic, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea specială 2025 (Proba E.c) — 23.05.2025): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √6·(√6 − 2) − √16 + 2√6 = 2.

√6·(√6 − 2) = 6 − 2√6 și √16 = 4.
6 − 2√6 − 4 + 2√6 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x − 1. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 4f(1).

f(1) = 2 și f(a) = 3a − 1.
3a − 1 = 8, de unde a = 3.
Răspuns
a = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3⁴⁺ˣ = 3²⁻ˣ.

Bazele sunt egale, deci 4 + x = 2 − x.
2x = −2, deci x = −1.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Se consideră mulțimea A = {1, 2, 3, …, 15}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să fie divizor al lui 15.

A are 15 elemente: 15 cazuri posibile.
Divizorii lui 15 din A: 1, 3, 5, 15, adică 4 cazuri favorabile.
p = 415.
Răspuns
p = 415
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4, 8), B(5, 0) și C, mijlocul segmentului OA. Determinați distanța dintre punctele B și C.

C, mijlocul lui OA, este C(2, 4).
BC = √(5 − 2)² + (0 − 4)² = √9 + 16 = 5.
Răspuns
BC = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că 2sin30° − (cos45°)² − cos60° = 0.

sin30° = 12, cos45° = √22 și cos60° = 12.
2·(12) − (√22)² − 12 = 1 − 12 − 12 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy + x + y + 10.

1. (5p) Arătați că 2 ∗ 5 = 27.

2 ∗ 5 = 2·5 + 2 + 5 + 10 = 27.
Răspuns
2 ∗ 5 = 27
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că x ∗ y = (x + 1)(y + 1) + 9, pentru orice numere reale x și y.

(x + 1)(y + 1) = xy + x + y + 1.
Adunând 9: xy + x + y + 10 = x ∗ y.
Răspuns
x ∗ y = (x + 1)(y + 1) + 9
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numărul real x pentru care (−10) ∗ x = 10 + x.

(−10) ∗ x = −10x − 10 + x + 10 = −9x.
−9x = 10 + x, deci x = −1.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ (−x) = 1.

x ∗ (−x) = −x² + x − x + 10 = −x² + 10.
−x² + 10 = 1 ⇔ x² = 9, deci x = −3 sau x = 3.
Răspuns
x = −3 sau x = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați x∈[0, +∞) pentru care (x − 9) ∗ (9 − √x) = 9.

Din 2: (x − 9) ∗ (9 − √x) = (x − 8)(10 − √x) + 9.
(x − 8)(10 − √x) = 0, deci x = 8 sau √x = 10, adică x = 100; ambele convin.
Răspuns
x = 8 sau x = 100
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Arătați că, pentru orice număr natural n, divizibil cu 3, numărul natural (n + 1) ∗ (n + 2) este divizibil cu 3.

Din 2: (n + 1) ∗ (n + 2) = (n + 2)(n + 3) + 9.
Cu n = 3m: (3m + 2)(3m + 3) + 9 = 3(3m + 2)(m + 1) + 9 = 3((3m + 2)(m + 1) + 3), divizibil cu 3.
Răspuns
divizibil cu 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 1−131 și B(a, b) = aaba, unde a și b sunt numere reale.

1. (5p) Arătați că det(B(1, −1)) = 2.

B(1, −1) = 11−11.
det(B(1, −1)) = 1·1 − 1·(−1) = 2.
Răspuns
det(B(1, −1)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că A·B(1, −3) = 4I₂.

B(1, −3) = 11−31, deci A·B(1, −3) = 1+31−13−33+1 = 4004 = 4I₂.
Răspuns
A·B(1, −3) = 4I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numerele reale a și b pentru care A − 2I₂ = B(a, b).

A − 2I₂ = −1−13−1.
Egalitatea cu B(a, b) cere a = −1 și b = 3.
Răspuns
a = −1, b = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați matricea X∈M₂(R) pentru care X·B(1, −1) = A.

det(B(1, −1)) = 2, deci (B(1, −1))⁻¹ = 12−121212.
X = A·(B(1, −1))⁻¹ = 1−131·12−121212 = 0−12−1.
Răspuns
X = 0−12−1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Știind că a și b sunt numere reale, a ≠ 0, astfel încât det(aA − B(a, b)) = 0, arătați că 3a = b.

aA − B(a, b) = 0−2a3a−b0, deci det(aA − B(a, b)) = 2a(3a − b).
2a(3a − b) = 0 și a ≠ 0, deci 3a = b.
Răspuns
3a = b
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați perechile (a, b) de numere reale, cu a < b, pentru care (a + b)B(a, b) + bB(a + b, −b) = B(25, 6).

(a + b)B(a, b) + bB(a + b, −b) = (a+b)²(a+b)²ab(a+b)².
Egalitatea cu B(25, 6) cere (a + b)² = 25 și ab = 6.
a + b = 5, ab = 6 dă {a, b} = {2, 3}; a + b = −5, ab = 6 dă {a, b} = {−3, −2}.
Cu a < b: (2, 3) și (−3, −2).
Răspuns
(2, 3) și (−3, −2)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri