Rezolvare BAC 2018 Matematică M3 pedagogic, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea a II-a (toamnă) 2018 (Proba E.c) — sesiunea de toamnă 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (√3 + 1)(√3 − 1) − (√2 + 1)(√2 − 1) = 1.

(√3 + 1)(√3 − 1) = 3 − 1 = 2 și (√2 + 1)(√2 − 1) = 2 − 1 = 1.
2 − 1 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x − 2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f(x) < 4.

3x − 2 < 4 ⇔ 3x < 6 ⇔ x < 2.
Mulțimea soluțiilor este (−∞, 2).
Răspuns
x ∈ (−∞, 2)
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x³ + 3) = log₂30.

Logaritmul e injectiv: x³ + 3 = 30, deci x³ = 27 și x = 3.
Pentru x = 3, x³ + 3 = 30 > 0, deci x = 3 convine.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4 și 5.

Cifra sutelor se alege în 5 moduri, a zecilor în 4 moduri (diferită de prima), a unităților în 3 moduri.
5·4·3 = 60.
Răspuns
60 de numere
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(2,3) și N(−1,4). Determinați coordonatele punctului P, simetricul punctului N față de punctul M.

M este mijlocul segmentului NP: 2 = −1 + x_P2 și 3 = 4 + y_P2.
x_P = 5 și y_P = 2.
Răspuns
P(5, 2)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC dreptunghic în A, știind că AB = 8 și m(∢C) = 30°.

În triunghiul dreptunghic, sin C = ABBC, deci 12 = 8BC.
BC = 16 (cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză).
Răspuns
BC = 16
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy − 2(x + y) + 6.

1. (5p) Arătați că 1∗2 = 2.

1∗2 = 1·2 − 2(1 + 2) + 6 = 2 − 6 + 6 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că x∗y = (x − 2)(y − 2) + 2, pentru orice numere reale x și y.

x∗y = xy − 2x − 2y + 4 + 2.
= x(y − 2) − 2(y − 2) + 2 = (x − 2)(y − 2) + 2.
Răspuns
x∗y = (x − 2)(y − 2) + 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗3 = (x − 2)(3 − 2) + 2 = x − 2 + 2 = x, pentru orice număr real x.
3∗x = (3 − 2)(x − 2) + 2 = x, pentru orice număr real x, deci e = 3 este elementul neutru.
Răspuns
x∗3 = 3∗x = x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele naturale n pentru care n∗n ≤ n.

n∗n = (n − 2)² + 2 ≤ n ⇔ n² − 5n + 6 ≤ 0 ⇔ (n − 2)(n − 3) ≤ 0 ⇔ n ∈ [2, 3].
Numerele naturale sunt n = 2 și n = 3.
Răspuns
n ∈ {2, 3}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numărul real x pentru care (2ˣ∗2ˣ)∗2ˣ = 10.

2ˣ∗2ˣ = (2ˣ − 2)² + 2, iar (2ˣ∗2ˣ)∗2ˣ = ((2ˣ − 2)² + 2 − 2)(2ˣ − 2) + 2 = (2ˣ − 2)³ + 2.
(2ˣ − 2)³ + 2 = 10 ⇔ (2ˣ − 2)³ = 8 ⇔ 2ˣ − 2 = 2 ⇔ 2ˣ = 4 ⇔ x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele raționale p și q, știind că 2√3 − 1 ∗ 2√3 − 1 = p + q√3.

2√3 − 1 = 2(√3 + 1)3 − 1 = √3 + 1, deci 2√3 − 1 − 2 = √3 − 1.
(√3 + 1)∗(√3 + 1) = (√3 − 1)² + 2 = 3 − 2√3 + 1 + 2 = 6 − 2√3.
6 − 2√3 = p + q√3, cu p, q raționale, dă p = 6 și q = −2.
Răspuns
p = 6, q = −2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = −24−12, I₂ = 1001 și M(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det A = 0.

det A = −24−12 = (−2)·2 − (−1)·4 = −4 + 4 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că A·A = O₂, unde O₂ = 0000.

A·A = (−2)(−2)+4·(−1)(−2)·4+4·2(−1)(−2)+2·(−1)(−1)·4+2·2.
= 4−4−8+82−2−4+4 = 0000 = O₂.
Răspuns
A·A = O₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Demonstrați că M(a)·M(b) = M(a + b), pentru orice numere reale a și b.

M(a)·M(b) = (I₂ + aA)(I₂ + bA) = I₂ + aA + bA + abA·A.
Cum A·A = O₂: M(a)·M(b) = I₂ + (a + b)A = M(a + b).
Răspuns
M(a)·M(b) = M(a + b)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale t, știind că M(t)·M(t²) = M(90).

Din 3: M(t)·M(t²) = M(t + t²).
M(t + t²) = M(90) ⇔ (t + t² − 90)A = O₂ ⇔ t² + t − 90 = 0 (A ≠ O₂).
(t + 10)(t − 9) = 0, deci t = −10 sau t = 9.
Răspuns
t = −10 sau t = 9
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Arătați că inversa matricei I₂ + A este matricea I₂ − A.

(I₂ + A)(I₂ − A) = I₂ − A + A − A·A = I₂ − O₂ = I₂.
(I₂ − A)(I₂ + A) = I₂ + A − A − A·A = I₂, deci (I₂ + A)⁻¹ = I₂ − A.
Răspuns
(I₂ + A)⁻¹ = I₂ − A
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Rezolvați în M₂(R) ecuația (I₂ + A)·X = A − I₂.

Înmulțim la stânga cu (I₂ + A)⁻¹ = I₂ − A: X = (I₂ − A)(A − I₂).
X = A − I₂ − A·A + A = 2A − I₂ (pentru că A·A = O₂).
X = −48−24 − 1001 = −58−23.
Răspuns
X = −58−23
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri