Rezolvare BAC 2026 Matematică M3 pedagogic, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din simularea 2026 (Simularea națională a clasei a XII-a — 24.03.2026): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 0,25·6 + (3 − 0,5) : 5 = 2.

0,25·6 = 1,5 și (3 − 0,5) : 5 = 2,5 : 5 = 0,5.
1,5 + 0,5 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 2x − 3 și numărul real m, ordonata punctului de intersecție a graficului funcției f cu axa Oy. Calculați f(m).

Graficul intersectează Oy în punctul de abscisă 0, deci m = f(0) = −3.
f(m) = f(−3) = 9 + 6 − 3 = 12.
Răspuns
f(m) = 12
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x = 2√2x.

Condiții: 2x ≥ 0 și x ≥ 0. Ridicând la pătrat: x² = 8x, deci x² − 8x = 0.
x = 0 sau x = 8, care convin (8 = 2√16).
Răspuns
x = 0 sau x = 8
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) După o scumpire cu 20%, un obiect costă 600 de lei. Obiectul este scumpit din nou, cu 5%. Calculați diferența dintre prețul obiectului după cele două scumpiri și prețul înainte de cele două scumpiri.

Dacă x e prețul inițial: x + (20100)x = 600, deci 6x5 = 600 și x = 500 de lei.
După a doua scumpire: 600 + (5100)·600 = 630 de lei.
Diferența: 630 − 500 = 130 de lei.
Răspuns
130 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 3), B(4, 6) și C, astfel încât A este mijlocul segmentului BC. Determinați lungimea segmentului OC.

3 = 4 + x_C2 și 3 = 6 + y_C2, deci C(2, 0).
OC = √2² + 0² = 2.
Răspuns
OC = 2
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul DEF, dreptunghic în D, cu DE = 3 și sin F = 13. Arătați că DF = 6√2.

sin F = DEEF, deci 13 = 3EF și EF = 9.
DF² = EF² − DE² = 81 − 9 = 72, deci DF = 6√2.
Răspuns
DF = 6√2
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = (x − 4y)(y − 4x) + 4.

1. (5p) Arătați că 1 ∗ 3 = 15.

1 ∗ 3 = (1 − 4·3)(3 − 4·1) + 4 = (−11)·(−1) + 4 = 15.
Răspuns
1 ∗ 3 = 15
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că legea de compoziție „∗” este comutativă.

y ∗ x = (y − 4x)(x − 4y) + 4 = (x − 4y)(y − 4x) + 4 = x ∗ y, pentru orice numere reale x și y.
Răspuns
x ∗ y = y ∗ x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ 0 = 0.

x ∗ 0 = x·(−4x) + 4 = −4x² + 4.
−4x² + 4 = 0 ⇔ x² = 1, deci x = −1 sau x = 1.
Răspuns
x = −1 sau x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că x ∗ (x + 1) = 9x(x + 1), pentru orice număr real x.

x ∗ (x + 1) = (x − 4x − 4)(x + 1 − 4x) + 4 = (−3x − 4)(1 − 3x) + 4.
= −3x + 9x² − 4 + 12x + 4 = 9x² + 9x = 9x(x + 1).
Răspuns
x ∗ (x + 1) = 9x(x + 1)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numărul real x pentru care (x − 1) ∗ x = (x + 1) ∗ (x + 2).

Din 4 (scris pentru x − 1, respectiv x + 1): (x − 1) ∗ x = 9x(x − 1) și (x + 1) ∗ (x + 2) = 9(x + 1)(x + 2).
9x(x − 1) = 9(x + 1)(x + 2) ⇔ x² − x = x² + 3x + 2 ⇔ −4x = 2, deci x = −12.
Răspuns
x = −12
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele reale m pentru care x ∗ (mx) = 4, pentru orice număr real x.

x ∗ (mx) = (x − 4mx)(mx − 4x) + 4 = x²(1 − 4m)(m − 4) + 4.
Egalitatea cu 4 pentru orice x real cere (1 − 4m)(m − 4) = 0, deci m = 14 sau m = 4.
Răspuns
m = 14 sau m = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = x2−xx−13−x, unde x este număr real.

1. (5p) Arătați că det(A(4)) = 2.

A(4) = 4−23−1.
det(A(4)) = 4·(−1) − (−2)·3 = −4 + 6 = 2.
Răspuns
det(A(4)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Determinați numărul real x pentru care A(3) + 3A(x) = 4A(6).

A(3) = 3−120 și A(6) = 6−45−3.
3A(x) = 4A(6) − A(3) = 21−1518−12 = 3·7−56−4 = 3A(7).
A(x) = A(7), deci x = 7.
Răspuns
x = 7
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că A(5)·(3I₂ − A(5)) = 2I₂.

A(5) = 5−34−2 și 3I₂ − A(5) = −23−45.
A(5)·(3I₂ − A(5)) = −10+1215−15−8+812−10 = 2002 = 2I₂.
Răspuns
A(5)·(3I₂ − A(5)) = 2I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că det(A(0)·A(1) − A(x)) = 0, pentru orice număr real x.

A(0)·A(1) = 02−13·1102 = 04−15.
A(0)·A(1) − A(x) = −xx+2−xx+2: are liniile egale.
det(A(0)·A(1) − A(x)) = −x(x + 2) + x(x + 2) = 0, pentru orice x real.
Răspuns
0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Arătați că numărul N = det(A(n) + nI₂) este natural par, pentru orice număr natural n.

A(n) + nI₂ = 2n2−nn−13.
N = 6n − (2 − n)(n − 1) = 6n − (−n² + 3n − 2) = n² + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2).
n + 1 și n + 2 sunt naturale consecutive, deci unul e par: N e natural par.
Răspuns
N = (n + 1)(n + 2), natural par
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați matricea X∈M₂(R) pentru care A(5)·X = A(0) + 3X.

Egalitatea se scrie (A(5) − 3I₂)·X = A(0).
Din 3: A(5)·(A(5) − 3I₂) = −2I₂, deci (A(5) − 3I₂)⁻¹ = −(12)A(5) și X = −(12)A(5)·A(0).
A(5)·A(0) = 5−34−2·02−13 = 3122.
X = −32−12−1−1.
Răspuns
X = −32−12−1−1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri