Rezolvare BAC 2021 Matematică M3 pedagogic, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea I (vară) 2021 (Proba E.c) — iulie 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √2·(3 + √2) − √18 = 2.

√2·(3 + √2) = 3√2 + 2, iar √18 = √9·2 = 3√2.
3√2 + 2 − 3√2 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = x + 1 și g:R→R, g(x) = 3x + 7. Determinați numărul real a pentru care f(a) = g(a).

a + 1 = 3a + 7 ⇔ −2a = 6.
a = −3.
Răspuns
a = −3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √4 + 2x = 4.

Ridicând la pătrat: 4 + 2x = 16, deci x = 6.
Verificare: √4 + 12 = √16 = 4, deci x = 6 convine.
Răspuns
x = 6
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră, numărul n să fie divizor al numărului 18.

Numerele naturale nenule de o cifră sunt 1, 2, …, 9: 9 cazuri posibile.
Divizorii lui 18 dintre ele: 1, 2, 3, 6, 9, adică 5 cazuri favorabile.
p = 59.
Răspuns
p = 59
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1,2) și B(3,a), unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că punctul A aparține dreptei OB.

A aparține dreptei OB ⇔ pantele lui OA și OB sunt egale.
Panta lui OA: 2−1 = −2; panta lui OB: a3.
a3 = −2, deci a = −6.
Răspuns
a = −6
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu BC = 4 și măsura unghiului C de două ori mai mare decât măsura unghiului B. Determinați lungimea laturii AC a triunghiului ABC.

B + C = 90° și C = 2B, deci 3B = 90° și B = 30°.
AC este cateta opusă unghiului de 30°, deci AC = BC2 = 2.
Răspuns
AC = 2
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = 3x + 3y − 3xy − 2.

1. (5p) Arătați că 1∗2 = 1.

1∗2 = 3·1 + 3·2 − 3·1·2 − 2 = 3 + 6 − 6 − 2 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că x∗y = 1 − 3(x − 1)(y − 1), pentru orice numere reale x și y.

x∗y = 1 − 3xy + 3x + 3y − 3 = 1 − 3x(y − 1) + 3(y − 1).
= 1 − 3(y − 1)(x − 1) = 1 − 3(x − 1)(y − 1).
Răspuns
x∗y = 1 − 3(x − 1)(y − 1)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că e = 23 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗(23) = 1 − 3(x − 1)(23 − 1) = 1 − 3(x − 1)·(−13) = 1 + x − 1 = x, pentru orice x real.
Analog, (23)∗x = 1 − 3(23 − 1)(x − 1) = 1 + x − 1 = x, deci e = 23 este elementul neutru.
Răspuns
x∗(23) = (23)∗x = x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numărul real x pentru care (2 − x)∗2 = 2 + x.

(2 − x)∗2 = 1 − 3(2 − x − 1)(2 − 1) = 1 − 3(1 − x) = 3x − 2.
3x − 2 = 2 + x ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați perechile (m, n) de numere naturale pentru care m∗n = 19.

1 − 3(m − 1)(n − 1) = 19 ⇔ (m − 1)(n − 1) = −6.
m, n naturale ⇒ m − 1 ≥ −1 și n − 1 ≥ −1; produsul fiind negativ, unul dintre factori e −1 și celălalt 6.
m − 1 = −1, n − 1 = 6 dă (0, 7); m − 1 = 6, n − 1 = −1 dă (7, 0).
Răspuns
(m, n) ∈ {(0, 7), (7, 0)}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele reale a pentru care (a∗1) + (a∗2) + (a∗3) = 3a².

a∗1 = 1, a∗2 = 1 − 3(a − 1) = 4 − 3a, a∗3 = 1 − 6(a − 1) = 7 − 6a.
Suma: 1 + 4 − 3a + 7 − 6a = 12 − 9a.
12 − 9a = 3a² ⇔ a² + 3a − 4 = 0 ⇔ (a + 4)(a − 1) = 0, deci a = −4 sau a = 1.
Răspuns
a ∈ {−4, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1−1−24, I₂ = 1001 și B(x) = x−2−x−2x4x−2, unde x este număr real.

1. (5p) Arătați că det A = 2.

det A = 1−1−24 = 1·4 − (−1)·(−2) = 4 − 2 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că xA − 2I₂ = B(x), pentru orice număr real x.

xA − 2I₂ = x−x−2x4x − 2002 = x−2−x−2x4x−2 = B(x).
Răspuns
xA − 2I₂ = B(x)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că A·A = B(5).

A·A = 1−1−24·1−1−24 = 1+2−1−4−2−82+16 = 3−5−1018.
B(5) = 5−2−5−1020−2 = 3−5−1018, deci A·A = B(5).
Răspuns
A·A = B(5)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(B(x)) = 4.

det(B(x)) = (x − 2)(4x − 2) − (−x)(−2x) = 4x² − 10x + 4 − 2x² = 2x² − 10x + 4.
2x² − 10x + 4 = 4 ⇔ 2x² − 10x = 0 ⇔ 2x(x − 5) = 0, deci x = 0 sau x = 5.
Răspuns
x ∈ {0, 5}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Arătați că B(xy) − xB(y) = 2(x − 1)I₂, pentru orice numere reale x și y.

Din 2: B(xy) = xyA − 2I₂ și B(y) = yA − 2I₂.
B(xy) − xB(y) = xyA − 2I₂ − xyA + 2xI₂ = (2x − 2)I₂ = 2(x − 1)I₂.
Răspuns
B(xy) − xB(y) = 2(x − 1)I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numărul real x pentru care B(6ˣ) − 2ˣB(3ˣ) = 6I₂.

6ˣ = 2ˣ·3ˣ, deci din 5 (cu 2ˣ în loc de x și 3ˣ în loc de y): B(6ˣ) − 2ˣB(3ˣ) = 2(2ˣ − 1)I₂.
2(2ˣ − 1)I₂ = 6I₂ ⇔ 2ˣ − 1 = 3 ⇔ 2ˣ = 4, deci x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri