Rezolvare BAC 2020 Matematică M3 pedagogic, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea I (vară) 2020 (Proba E.c) — iunie 2020 (calendar decalat, pandemie)): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră o progresie aritmetică (aₙ)ₙ≥₁ cu a₁ = 5 și r = −2. Calculați a₃.

a₃ = a₁ + 2r = 5 + 2·(−2) = 1.
Răspuns
a₃ = 1
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Determinați numărul real a, știind că punctul A(1,2) aparține graficului funcției f:R→R, f(x) = x² + ax + 3.

A(1,2) aparține graficului ⇔ f(1) = 2 ⇔ 1 + a + 3 = 2.
a = −2.
Răspuns
a = −2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x = √x² − 2.

Ridicând la pătrat: x = x² − 2, adică x² − x − 2 = 0, cu soluțiile x = −1 și x = 2.
x = −1 nu convine (√x nu e definit), iar x = 2 convine: √2 = √4 − 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Un pix costă de cinci ori mai mult decât un creion și de șapte ori mai puțin decât un stilou. Determinați cât costă un creion, dacă un stilou costă 70 de lei.

Fie x prețul creionului: pixul costă 5x, iar stiloul 7·5x = 35x.
35x = 70, deci x = 2 lei.
Răspuns
2 lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) Se consideră un paralelogram ABCD și O, punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. Arătați că OC = (12)(AB + AD) (vectori).

ABCD e paralelogram, deci, după regula paralelogramului, AB + AD = AC (vectori).
O este mijlocul diagonalei AC, deci OC = (12)·AC = (12)(AB + AD).
Răspuns
OC = (12)·AC = (12)(AB + AD)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) În triunghiul ABC dreptunghic în A, avem AC = 2AB și BC = 5. Arătați că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 3√5 + 5.

Teorema lui Pitagora: BC² = AB² + AC² = AB² + 4AB² = 5AB² = 25, deci AB = √5 și AC = 2√5.
Perimetrul: √5 + 2√5 + 5 = 3√5 + 5.
Răspuns
3√5 + 5
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = x² − xy + y².

1. (5p) Arătați că 1∘2 = 3.

1∘2 = 1² − 1·2 + 2² = 1 − 2 + 4 = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

y∘x = y² − yx + x² = x² − xy + y² = x∘y, pentru orice numere reale x și y.
Răspuns
x∘y = y∘x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Dacă a = (1∘3)∘2 și b = 1∘(3∘2), calculați b − a.

1∘3 = 1 − 3 + 9 = 7, deci a = 7∘2 = 49 − 14 + 4 = 39.
3∘2 = 9 − 6 + 4 = 7, deci b = 1∘7 = 1 − 7 + 49 = 43.
b − a = 43 − 39 = 4.
Răspuns
b − a = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care x∘x = 4.

x∘x = x² − x² + x² = x².
x² = 4, deci x = −2 sau x = 2.
Răspuns
x ∈ {−2, 2}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Demonstrați că, dacă x și y sunt numere reale pentru care x∘y = 0, atunci x = y = 0.

x² − xy + y² = (x − y2)² + 3y²4.
O sumă de două pătrate (cu coeficienți pozitivi) e 0 doar dacă ambii termeni sunt 0: y = 0 și x − y2 = 0.
Deci y = 0 și x = 0.
Răspuns
x = y = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele reale x pentru care 3∘2ˣ = 7.

3∘2ˣ = 9 − 3·2ˣ + 2²ˣ = 7 ⇔ 2²ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0 ⇔ (2ˣ − 1)(2ˣ − 2) = 0.
2ˣ = 1 dă x = 0, iar 2ˣ = 2 dă x = 1.
Răspuns
x ∈ {0, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 1a01, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det(A(5)) = 1.

A(5) = 1501, deci det(A(5)) = 1501 = 1·1 − 5·0 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Calculați det(A(1) + A(2)).

A(1) + A(2) = 1101 + 1201 = 2302.
det(A(1) + A(2)) = 2302 = 4 − 0 = 4.
Răspuns
4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Demonstrați că A(a)·A(b) = A(a + b), pentru orice numere reale a și b.

A(a)·A(b) = 1a01·1b01 = 1b+a01 = A(a + b).
Răspuns
A(a)·A(b) = A(a + b)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numărul real a pentru care A(a)·A(2a) = A(30).

Din 3.: A(a)·A(2a) = A(3a).
A(3a) = A(30) ⇔ 3a = 30, deci a = 10.
Răspuns
a = 10
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(I₂ + xA(x)) = 25.

I₂ + xA(x) = 1001 + xx²0x = 1+xx²01+x, deci det(I₂ + xA(x)) = (1 + x)².
(1 + x)² = 25 ⇔ 1 + x = ±5, deci x = −6 sau x = 4.
Răspuns
x ∈ {−6, 4}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele naturale n pentru care A(n)·A(n) = A(2n²).

Din 3.: A(n)·A(n) = A(2n).
A(2n) = A(2n²) ⇔ 2n = 2n² ⇔ n(n − 1) = 0, deci n = 0 sau n = 1, care convin.
Răspuns
n ∈ {0, 1}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri