Rezolvare BAC 2020 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea I (vară) 2020 (Proba E.c) — iunie 2020 (calendar decalat, pandemie)): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √3(2√3 + 1) − √3 = 6.

√3(2√3 + 1) = 2·3 + √3 = 6 + √3.
6 + √3 − √3 = 6.
Răspuns
6
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 4x + 2. Determinați numerele reale a pentru care f(a) = 2.

a² − 4a + 2 = 2 ⇔ a² − 4a = 0 ⇔ a(a − 4) = 0.
a = 0 sau a = 4.
Răspuns
a ∈ {0, 4}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x − 1 = 3.

Ridicând la pătrat: x − 1 = 9, deci x = 10.
Verificare: √9 = 3, deci x = 10 convine.
Răspuns
x = 10
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) După o ieftinire cu 10%, un obiect costă 180 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Fie x prețul inițial: x − (10100)·x = 180, adică (910)·x = 180.
x = 200 de lei.
Răspuns
200 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,1), B(−4,1) și C(0,4). Determinați lungimea înălțimii din vârful C în triunghiul ABC.

A și B au aceeași ordonată, deci AB este pe dreapta y = 1 (paralelă cu Ox).
Piciorul înălțimii din C este D(0,1) (de altfel mijlocul lui AB, căci CA = CB = 5).
CD = 4 − 1 = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că √3·sin60° − √2·cos45° = 12.

sin60° = √32 și cos45° = √22.
√3·(√32) − √2·(√22) = 32 − 22 = 12.
Răspuns
12
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1302 și I₂ = 1001.

a) (5p) Arătați că det A = 2.

det A = 1302 = 1·2 − 3·0 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că 3A − A·A = 2I₂.

A·A = 1904.
3A − A·A = 3906 − 1904 = 2002 = 2I₂.
Răspuns
3A − A·A = 2I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care (xA − I₂)(xA − I₂) = 5A − I₂.

xA − I₂ = x−13x02x−1, deci (xA − I₂)(xA − I₂) = (x−1)²9x²−6x0(2x−1)².
5A − I₂ = 41509.
(x − 1)² = 4 dă x ∈ {−1, 3}; 9x² − 6x = 15 dă x ∈ {−1, 53}; (2x − 1)² = 9 dă x ∈ {−1, 2}.
Singura valoare comună: x = −1.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = x² + (x + 1)(y + 1) + y².

a) (5p) Arătați că 3∘(−1) = 10.

3∘(−1) = 3² + (3 + 1)(−1 + 1) + (−1)² = 9 + 0 + 1 = 10.
Răspuns
10
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

y∘x = y² + (y + 1)(x + 1) + x² = x² + (x + 1)(y + 1) + y² = x∘y, pentru orice numere reale x și y.
Răspuns
x∘y = y∘x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că x∘1 ≥ 2, pentru orice număr real x.

x∘1 = x² + 2(x + 1) + 1 = x² + 2x + 3.
x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2 ≥ 2, pentru orice x real, fiindcă (x + 1)² ≥ 0.
Răspuns
x∘1 = (x + 1)² + 2 ≥ 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = (x − 1)ln x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 1 − 1x + ln x, x ∈ (0,+∞).

f'(x) = (x − 1)'·ln x + (x − 1)·(ln x)' = ln x + x − 1x.
x − 1x = 1 − 1x, deci f'(x) = 1 − 1x + ln x.
Răspuns
f'(x) = 1 − 1x + ln x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = 0·ln1 = 0 și f'(1) = 1 − 1 + 0 = 0.
Tangenta: y − f(1) = f'(1)(x − 1), adică y = 0.
Răspuns
y = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că funcția f este descrescătoare pe intervalul (0,1].

Pentru x ∈ (0,1]: ln x ≤ 0 și 1x ≥ 1, deci 1 − 1x ≤ 0.
Atunci f'(x) = (1 − 1x) + ln x ≤ 0 pe (0,1], deci f este descrescătoare pe (0,1].
Răspuns
f'(x) ≤ 0 pe (0,1]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1 + xx² + 1 − 2x² + 1.