Rezolvare BAC 2020 Matematică M2 tehnologic, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din modelul 2020 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2020): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (10 − 2·3)(10 + 2·3) = 64.

10 − 2·3 = 4 și 10 + 2·3 = 16.
4·16 = 64.
Răspuns
64
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră x₁ și x₂ soluțiile ecuației x² − 7x + 10 = 0. Arătați că 2(x₁ + x₂) − x₁x₂ = 4.

Relațiile lui Viète: x₁ + x₂ = 7 și x₁x₂ = 10.
2(x₁ + x₂) − x₁x₂ = 14 − 10 = 4.
Răspuns
4
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x − 2020) = 2log₂3.

Condiție: x − 2020 > 0, adică x > 2020.
2log₂3 = log₂3² = log₂9, deci x − 2020 = 9.
x = 2029, care convine.
Răspuns
x = 2029
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Un obiect costă 200 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 10%.

10% din 200 = (10100)·200 = 20 de lei.
Prețul după scumpire: 200 + 20 = 220 de lei.
Răspuns
220 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,4) și B(4,4). Calculați distanța de la punctul O(0,0) la mijlocul segmentului AB.

Mijlocul lui AB este M(2 + 42, 4 + 42) = M(3,4).
OM = √(3 − 0)² + (4 − 0)² = √25 = 5.
Răspuns
OM = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin 60° + cos 150° = 0.

sin 60° = √32.
cos 150° = cos(180° − 30°) = −cos 30° = −√32.
Suma: √32 − √32 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = −290−2 și B(x) = x−3x0x, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = 4.

det A = −290−2 = (−2)·(−2) − 0·9 = 4 − 0 = 4.
Răspuns
det A = 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care B(x)·B(−x) + B(x) = A.

B(x)·B(−x) = x−3x0x·−x3x0−x = −x²6x²0−x².
B(x)·B(−x) + B(x) = −x² + x6x² − 3x0−x² + x.
Egalând cu A: −x² + x = −2 ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ x ∈ {−1, 2}; 6x² − 3x = 9 ⇒ 2x² − x − 3 = 0 ⇒ x ∈ {−1, 32}.
Valoarea comună este x = −1.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Rezolvați în M₂(R) ecuația B(1)·X = A.

B(1) = 1−301, det(B(1)) = 1 ≠ 0, deci B(1) e inversabilă și (B(1))⁻¹ = 1301.
X = (B(1))⁻¹·A = 1301·−290−2 = −230−2.
Răspuns
X = −230−2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = (0,+∞) se definește legea de compoziție x ∘ y = x² + y²xy.

a) (5p) Arătați că 3 ∘ (13) = 829.

3 ∘ (13) = 9 + 1/93·(1/3) = 9 + 1/91.
= 9 + 19 = 829.
Răspuns
829
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x ∘ y ≥ 2, pentru orice x, y ∈ M.

x ∘ y − 2 = x² + y²xy − 2 = x² + y² − 2xyxy = (x − y)²xy.
Cum x > 0, y > 0 și (x − y)² ≥ 0, fracția e ≥ 0, deci x ∘ y ≥ 2.
Răspuns
x ∘ y ≥ 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați a ∈ M, pentru care a² ∘ (1a²) = 2.

a² ∘ (1a²) = a⁴ + 1/a⁴a²·(1/a²) = a⁴ + 1a⁴.
a⁴ + 1a⁴ − 2 = 0 ⇔ (a² − 1a²)² = 0 ⇔ a² = 1a² ⇔ a⁴ = 1.
a = −1 nu convine (a > 0), deci a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x(x² − 12) + 3.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3(x − 2)(x + 2), x ∈ R.

f(x) = x³ − 12x + 3, deci f'(x) = 3x² − 12.
3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2).
Răspuns
f'(x) = 3(x − 2)(x + 2)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→3 f(x) + 6x − 3 = 15.

f(3) = 3·(9 − 12) + 3 = −6, deci limita este limx→3 f(x) − f(3)x − 3 = f'(3).
f'(3) = 3·(3 − 2)(3 + 2) = 15.
Răspuns
15
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că −13 ≤ f(x) ≤ 19, pentru orice x ∈ [−2,2].

Pentru x ∈ [−2,2]: x − 2 ≤ 0 și x + 2 ≥ 0, deci f'(x) ≤ 0 și f este descrescătoare pe [−2,2].
f(−2) = −2·(4 − 12) + 3 = 19 și f(2) = 2·(4 − 12) + 3 = −13.
Deci f(2) ≤ f(x) ≤ f(−2), adică −13 ≤ f(x) ≤ 19, pentru orice x ∈ [−2,2].
Răspuns
−13 ≤ f(x) ≤ 19
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x⁵ + x + 1.