Rezolvare BAC 2019 Matematică M2 tehnologic, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2019 (Proba E.c) — sesiunea specială 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (1 − 13 + 14) : (1 − 112) = 1.

1 − 13 + 14 = 12 − 4 + 312 = 1112 și 1 − 112 = 1112.
(1112) : (1112) = (1112)·(1211) = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 4. Arătați că f(−2) + f(2) = 4f(0).

f(−2) = 8 și f(2) = 8, deci f(−2) + f(2) = 16.
f(0) = 4, deci 4f(0) = 16 = f(−2) + f(2).
Răspuns
16 = 16
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₈(x² − 27) = log₈(x − 3)².

Logaritmul e injectiv: x² − 27 = (x − 3)² = x² − 6x + 9, deci 6x − 36 = 0 și x = 6.
Verificare: x² − 27 = 9 > 0 și (x − 3)² = 9 > 0, deci x = 6 convine.
Răspuns
x = 6
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}, acesta să fie număr par.

M are 10 elemente: 10 cazuri posibile.
Numerele pare sunt 10, 12, 14, 16, 18: 5 cazuri favorabile, deci p = 510 = 12.
Răspuns
p = 12
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,3) și B(8,3). Determinați coordonatele punctului C, știind că punctul B este mijlocul segmentului AC.

B mijlocul lui AC: 8 = 4 + x_C2, deci x_C = 12.
3 = 3 + y_C2, deci y_C = 3.
Răspuns
C(12,3)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că cos²30° + sin²60° − 2cos30°·sin60° = 0.

cos30° = √32 și sin60° = √32.
Expresia este (cos30° − sin60°)² = (√32 − √32)² = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele M = 2112, I₂ = 1001 și A(a) = a132, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det M = 3.

det M = 2112 = 2·2 − 1·1 = 4 − 1 = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real a pentru care A(a)·A(a) = 4A(a) − I₂.

A(a)·A(a) = a²+3a+23a+67.
4A(a) − I₂ = 4a−14127.
Din a + 2 = 4 obținem a = 2; verificare: a² + 3 = 7 = 4a − 1 și 3a + 6 = 12, deci a = 2.
Răspuns
a = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a pentru care det(aA(a) + M) = 0.

aA(a) + M = a²+2a+13a+12a+2.
det(aA(a) + M) = (a² + 2)·2(a + 1) − (a + 1)(3a + 1) = (a + 1)(2a² + 4 − 3a − 1) = (a + 1)(2a² − 3a + 3).
2a² − 3a + 3 are Δ = 9 − 24 < 0, deci nu se anulează; rămâne a + 1 = 0, adică a = −1.
Răspuns
a = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ − 4X² + mX + 2, unde m este număr real.

a) (5p) Arătați că f(2) = 2m − 6, pentru orice număr real m.

f(2) = 2³ − 4·2² + 2m + 2 = 8 − 16 + 2m + 2 = 2m − 6.
Răspuns
f(2) = 2m − 6
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că, pentru orice număr real m, numărul E = x₁²x₂x₃ + x₁x₂²x₃ + x₁x₂x₃² este întreg, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = 4 și x₁x₂x₃ = −2.
E = x₁x₂x₃(x₁ + x₂ + x₃) = (−2)·4 = −8, care este număr întreg, pentru orice m.
Răspuns
E = −8
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru m = 3, determinați rădăcinile polinomului f.

Pentru m = 3, din a): f(2) = 0, deci f se divide cu X − 2: f = X³ − 4X² + 3X + 2 = (X − 2)(X² − 2X − 1).
X² − 2X − 1 = 0 are Δ = 8, deci x = 2 ± 2√22 = 1 ± √2.
Răspuns
x₁ = 1 − √2, x₂ = 2, x₃ = 1 + √2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 7x³ − 5x² + x + 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (3x − 1)(7x − 1), x∈R.

f'(x) = 7·3x² − 5·2x + 1 = 21x² − 10x + 1.
(3x − 1)(7x − 1) = 21x² − 3x − 7x + 1 = 21x² − 10x + 1, deci f'(x) = (3x − 1)(7x − 1).
Răspuns
f'(x) = (3x − 1)(7x − 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Calculați limx→+∞ x·f'(x)f(x).

x·f'(x) = x(3x − 1)(7x − 1) = x³(3 − 1x)(7 − 1x) și f(x) = x³(7 − 5x + 1x² + 1x³).
limx→+∞ (3 − 1/x)(7 − 1/x)7 − 5/x + 1/x² + 1/x³ = 3·77 = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(x) ≤ 5249, pentru orice x ∈ (−∞, 13].

Rădăcinile lui f' sunt 17 și 13: f'(x) ≥ 0 pe (−∞, 17], deci f crește acolo; f'(x) ≤ 0 pe [17, 13], deci f scade acolo.
Prin urmare, f(x) ≤ f(17), pentru orice x ∈ (−∞, 13].
f(17) = 7343 − 549 + 17 + 1 = 149 − 549 + 749 + 4949 = 5249, deci f(x) ≤ 5249.
Răspuns
f(x) ≤ f(17) = 5249
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 8x − 2 pentru x ∈ (−∞, 0] și f(x) = x − 2 pentru x ∈ (0, +∞).

a) (5p) Arătați că ∫[1,2] f(x) dx = −12.

Pe [1, 2], f(x) = x − 2.
∫[1,2] (x − 2) dx = [x²2 − 2x] de la 1 la 2 = (2 − 4) − (12 − 2) = −2 + 32 = −12.
Răspuns
−12
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că funcția f admite primitive pe R.

limx→0, x < 0 f(x) = limx→0 (x² + 8x − 2) = −2, limx→0, x > 0 f(x) = limx→0 (x − 2) = −2 și f(0) = −2, deci f e continuă în x = 0.
Pe (−∞, 0) și pe (0, +∞), f e continuă (funcții polinomiale), deci f e continuă pe R.
Orice funcție continuă pe R admite primitive pe R.
Răspuns
f continuă pe R, deci admite primitive
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = −1 și x = 0 are aria egală cu 173.

Pe [−1, 0], f(x) = x² + 8x − 2 ≤ 0 (x² ≤ 1 și 8x ≤ 0, deci f(x) ≤ 1 − 2 = −1), deci aria este ∫[−1,0] (−x² − 8x + 2) dx.
O primitivă: −x³3 − 4x² + 2x.
Aria = 0 − (13 − 4 − 2) = 6 − 13 = 173.
Răspuns
173
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri