Rezolvare BAC 2018 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I, rezervă

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea I, rezervă 2018 (Varianta de rezervă a sesiunii din vară 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (1 − 12)(1 + 0,5) = 34.

1 − 12 = 12 și 1 + 0,5 = 1 + 510 = 32.
Produsul: (12)·(32) = 34.
Răspuns
34
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R, f(x) = 3x − 5 și g:R→R, g(x) = 1 − 3x.

Abscisa punctului de intersecție verifică f(x) = g(x): 3x − 5 = 1 − 3x.
6x = 6, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(x + 5) = log₃9.

Logaritmul e injectiv: x + 5 = 9, deci x = 4.
Pentru x = 4, x + 5 = 9 > 0, deci soluția convine.
Răspuns
x = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) După o ieftinire cu 30%, prețul unui obiect este 700 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Fie x prețul inițial. După ieftinire: x − (30100)·x = 700, adică 0,7x = 700.
x = 7000,7 = 1000 de lei.
Răspuns
1000 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,6) și B(8,0). Determinați lungimea medianei din vârful O în triunghiul AOB.

A e pe axa Oy, iar B pe axa Ox, deci triunghiul AOB e dreptunghic în O, cu catetele OA = 6 și OB = 8.
AB = √6² + 8² = √100 = 10.
Mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză: AB2 = 102 = 5.
Răspuns
5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că √2·sin45° − (sin30° + cos60°) = 0.

sin45° = √22, sin30° = 12 și cos60° = 12.
√2·(√22) − (12 + 12) = 22 − 1 = 1 − 1 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 13−12, I₂ = 1001 și B(x) = 2x11, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = 5.

det A = 13−12 = 1·2 − (−1)·3.
det A = 2 + 3 = 5.
Răspuns
det A = 5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că, dacă A + B(x) = 3I₂, atunci A·B(x) = 5I₂.

A + B(x) = 33+x03, iar 3I₂ = 3003; egalitatea are loc doar dacă 3 + x = 0, adică x = −3.
A·B(−3) = 13−12·2−311 = 2+3−3+3−2+23+2 = 5005 = 5I₂.
Răspuns
x = −3 și A·B(−3) = 5I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(B(x)·B(x) − I₂) = 0.

B(x)·B(x) = 4+x2x+x2+1x+1 = 4+x3x3x+1.
B(x)·B(x) − I₂ = 3+x3x3x, cu determinantul 3+x3x3x = x(3 + x) − 9x = x² − 6x.
x² − 6x = 0 ⇔ x(x − 6) = 0 ⇔ x = 0 sau x = 6.
Răspuns
x ∈ {0, 6}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = xy − 9(x + y) + 90.

a) (5p) Arătați că 10∘8 = 8.

10∘8 = 10·8 − 9(10 + 8) + 90 = 80 − 162 + 90.
10∘8 = 8.
Răspuns
8
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x∘y = (x − 9)(y − 9) + 9, pentru orice numere reale x și y.

x∘y = xy − 9x − 9y + 81 + 9 (am scris 90 = 81 + 9).
Grupăm: x(y − 9) − 9(y − 9) + 9 = (x − 9)(y − 9) + 9, pentru orice numere reale x și y.
Răspuns
x∘y = (x − 9)(y − 9) + 9
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele naturale n pentru care n∘n ≤ 10.

Din b): n∘n = (n − 9)² + 9, deci inegalitatea devine (n − 9)² ≤ 1.
(n − 9)² − 1 ≤ 0 ⇔ (n − 10)(n − 8) ≤ 0 ⇔ n ∈ [8, 10].
Cum n este număr natural, n ∈ {8, 9, 10}.
Răspuns
n ∈ {8, 9, 10}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − 1x² + 3.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (3 − x)(x + 1)(x² + 3)², x ∈ R.

f'(x) = 1·(x² + 3) − (x − 1)·2x(x² + 3)².
Numărătorul: x² + 3 − 2x² + 2x = −x² + 2x + 3 = (3 − x)(x + 1), deci f'(x) = (3 − x)(x + 1)(x² + 3)².
Răspuns
f'(x) = (3 − x)(x + 1)(x² + 3)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ x − 1x² + 3 = limx→+∞ 1 − 1/xx(1 + 3/x²) = 0, fiindcă numărătorul tinde la 1, iar numitorul la +∞.
Dreapta de ecuație y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f.
Răspuns
y = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că −1 ≤ f(x) + f(y) ≤ 13, pentru orice numere reale x și y.

Semnul lui f' e semnul lui (3 − x)(x + 1): f' ≤ 0 pe (−∞, −1], f' ≥ 0 pe [−1, 3] și f' ≤ 0 pe [3, +∞). Deci f descrește pe (−∞, −1], crește pe [−1, 3] și descrește pe [3, +∞).
f(−1) = −24 = −12, f(3) = 212 = 16, iar limx→−∞ f(x) = limx→+∞ f(x) = 0.
Din variația funcției: −12 ≤ f(x) ≤ 16 pentru orice x real (minimul −12 în x = −1, maximul 16 în x = 3); la fel −12 ≤ f(y) ≤ 16.
Adunând: −1 ≤ f(x) + f(y) ≤ 26 = 13, pentru orice numere reale x și y.
Răspuns
−1 ≤ f(x) + f(y) ≤ 13
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1eˣ + x.