Rezolvare BAC 2018 Matematică M2 tehnologic, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din modelul 2018 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul n = √8(√2 + 1) − 2√2 este pătratul unui număr natural.

√8·√2 = √16 = 4 și √8 = 2√2.
n = 4 + 2√2 − 2√2 = 4 = 2².
Răspuns
n = 4 = 2²
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = x² − x + 2 și g:R→R, g(x) = x + 1. Determinați numărul real a pentru care f(a) = g(a).

a² − a + 2 = a + 1 ⇔ a² − 2a + 1 = 0 ⇔ (a − 1)² = 0.
a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √2x² − 6x + 5 = x − 1.

Ridicând la pătrat: 2x² − 6x + 5 = x² − 2x + 1 ⇔ x² − 4x + 4 = 0, deci x = 2.
Verificare: √8 − 12 + 5 = √1 = 1 = 2 − 1, deci x = 2 convine.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4, 5}.

Prima cifră se alege în 5 moduri, a doua în 4 moduri, a treia în 3 moduri.
Total: 5·4·3 = 60 de numere.
Răspuns
60 de numere
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,1) și B(3,0). Determinați ecuația dreptei d care trece prin mijlocul segmentului AO și este paralelă cu dreapta AB.

Panta lui AB: 0 − 13 − 2 = −1; d ∥ AB, deci panta lui d e −1.
Mijlocul lui AO: M(1, 12).
d: y − 12 = −(x − 1), adică y = −x + 32.
Răspuns
y = −x + 32
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că (sin x + 7cos x)² + (7sin x − cos x)² = 50, pentru orice număr real x.

(sin x + 7cos x)² = sin²x + 14sin x·cos x + 49cos²x și (7sin x − cos x)² = 49sin²x − 14sin x·cos x + cos²x.
Suma: 50sin²x + 50cos²x = 50(sin²x + cos²x) = 50.
Răspuns
50
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(m) = 12mm+1, unde m este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 1.

A(0) = 1201, deci det(A(0)) = 1201 = 1 − 0 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(m) + A(−m) = 2A(0), pentru orice număr real m.

A(m) + A(−m) = 12mm+1 + 12−m−m+1 = 2402 = 2·1201 = 2A(0).
Răspuns
A(m) + A(−m) = 2A(0)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați matricea X ∈ M₂(R) pentru care A(2)·X = A(5).

A(2) = 1223, cu det(A(2)) = 3 − 4 = −1 ≠ 0, deci (A(2))⁻¹ = −322−1.
X = (A(2))⁻¹·A(5) = −322−1·1256 = 76−3−2.
Răspuns
X = 76−3−2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = 3xy + 3x + 3y + 2.

a) (5p) Arătați că x∘y = 3(x + 1)(y + 1) − 1, pentru orice numere reale x și y.

x∘y = 3xy + 3x + 3y + 3 − 1 = 3x(y + 1) + 3(y + 1) − 1.
= 3(x + 1)(y + 1) − 1.
Răspuns
x∘y = 3(x + 1)(y + 1) − 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că x∘(−23) = x, pentru orice număr real x.

x∘(−23) = 3(x + 1)(−23 + 1) − 1 = 3(x + 1)·(13) − 1.
= x + 1 − 1 = x.
Răspuns
x∘(−23) = x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele naturale n pentru care n∘(n − 1) < 17.

n∘(n − 1) = 3(n + 1)·n − 1.
3n(n + 1) − 1 < 17 ⇔ 3n² + 3n − 18 < 0 ⇔ n² + n − 6 < 0 ⇔ (n + 3)(n − 2) < 0 ⇔ n ∈ (−3, 2).
Numerele naturale din interval: n = 0 și n = 1.
Răspuns
n ∈ {0, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(2,+∞)→R, f(x) = x² + 6xx − 2.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (x − 6)(x + 2)(x − 2)², x ∈ (2,+∞).

f'(x) = (2x + 6)(x − 2) − (x² + 6x)·1(x − 2)².
Numărătorul: 2x² + 2x − 12 − x² − 6x = x² − 4x − 12 = (x − 6)(x + 2).
Răspuns
f'(x) = (x − 6)(x + 2)(x − 2)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

m = limx→+∞ f(x)x = limx→+∞ x² + 6xx² − 2x = 1.
n = limx→+∞ (f(x) − x) = limx→+∞ x² + 6x − x² + 2xx − 2 = limx→+∞ 8xx − 2 = 8.
Asimptota oblică spre +∞: y = x + 8.
Răspuns
y = x + 8
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că funcția f nu are puncte de inflexiune.

Scriem f'(x) = 1 − 16(x − 2)² (într-adevăr, (x − 2)² − 16(x − 2)² = x² − 4x − 12(x − 2)²).
f''(x) = 32(x − 2)³.
Pentru x > 2, f''(x) > 0, deci f e convexă pe tot domeniul; f'' nu schimbă semnul, deci f nu are puncte de inflexiune.
Răspuns
f''(x) = 32(x − 2)³ > 0, deci nu are puncte de inflexiune
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1eˣ + 1.