Rezolvare BAC 2018 Matematică M2 tehnologic, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2018 (Proba E.c) — sesiunea specială 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √3(2 − √2) + √2(√3 − √6) = 0.

√3(2 − √2) = 2√3 − √6 și √2(√3 − √6) = √6 − √12 = √6 − 2√3.
Suma: 2√3 − √6 + √6 − 2√3 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 2. Determinați numerele reale a, știind că f(a) = a.

f(a) = a² − 2, deci a² − 2 = a, adică a² − a − 2 = 0.
(a + 1)(a − 2) = 0, deci a = −1 sau a = 2.
Răspuns
a ∈ {−1, 2}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⁷ˣ⁻⁵ = 4ˣ.

4ˣ = 2²ˣ, deci ecuația devine 2⁷ˣ⁻⁵ = 2²ˣ.
7x − 5 = 2x, deci 5x = 5 și x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5}, acesta să verifice relația 2ⁿ ≤ 16.

A are 5 elemente: 5 cazuri posibile.
2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16 verifică relația, iar 2⁵ = 32 nu: 4 cazuri favorabile.
p = 45.
Răspuns
p = 45
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(1,2), N(4,3) și P(6,1). Determinați lungimea segmentului MQ, unde Q este mijlocul segmentului NP.

Q(4 + 62, 3 + 12) = Q(5,2).
MQ = √(5 − 1)² + (2 − 2)² = √16 = 4.
Răspuns
MQ = 4
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin30° + sin45° − cos60° − cos45° = 0.

sin30° = cos60° = 12 și sin45° = cos45° = √22.
sin30° + sin45° − cos60° − cos45° = 12 + √22 − 12 − √22 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = x1−12, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 5.

A(2) = 21−12, deci det(A(2)) = 21−12 = 2·2 − (−1)·1 = 4 + 1 = 5.
Răspuns
5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care A(x)·A(y) = 3I₂.

A(x)·A(y) = x1−12·y1−12 = xy−1x+2−y−23.
Egalăm cu 3I₂ = 3003: x + 2 = 0 și −y − 2 = 0, deci x = −2 și y = −2.
Verificare: xy − 1 = 4 − 1 = 3, deci x = −2, y = −2 convin.
Răspuns
x = −2, y = −2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul întreg p pentru care det(A(p)·A(p) + I₂) = 5.

Din b), A(p)·A(p) = p²−1p+2−p−23, deci A(p)·A(p) + I₂ = p²p+2−p−24.
det(A(p)·A(p) + I₂) = 4p² + (p + 2)² = 5p² + 4p + 4.
5p² + 4p + 4 = 5 ⇔ 5p² + 4p − 1 = 0, cu soluțiile p = −1 și p = 15; cum p e întreg, p = −1.
Răspuns
p = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = xy − (x + y) + 2.

a) (5p) Arătați că 2∗2 = 2.

2∗2 = 2·2 − (2 + 2) + 2 = 4 − 4 + 2 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x∗y = (x − 1)(y − 1) + 1, pentru orice numere reale x și y.

x∗y = xy − x − y + 1 + 1.
xy − x − y + 1 = x(y − 1) − (y − 1) = (x − 1)(y − 1), deci x∗y = (x − 1)(y − 1) + 1.
Răspuns
x∗y = (x − 1)(y − 1) + 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Calculați 1∗2∗3∗…∗2018.

Din b): 1∗x = 0·(x − 1) + 1 = 1, pentru orice număr real x.
Folosind asociativitatea: 1∗2∗3∗…∗2018 = 1∗(2∗3∗…∗2018) = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + x + 1x² + 2x + 2.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x(x + 2)(x² + 2x + 2)², x∈R.

f'(x) = (2x + 1)(x² + 2x + 2) − (x² + x + 1)(2x + 2)(x² + 2x + 2)².
Numărătorul: (2x³ + 5x² + 6x + 2) − (2x³ + 4x² + 4x + 2) = x² + 2x = x(x + 2).
Deci f'(x) = x(x + 2)(x² + 2x + 2)².
Răspuns
f'(x) = x(x + 2)(x² + 2x + 2)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = −1, situat pe graficul funcției f.

f(−1) = 1 − 1 + 11 − 2 + 2 = 1 și f'(−1) = −1·11² = −1.
Tangenta: y − f(−1) = f'(−1)(x + 1), adică y − 1 = −(x + 1), deci y = −x.
Răspuns
y = −x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 1 ≤ f(x) + f(y) ≤ 3, pentru orice numere reale x și y.

Numitorul lui f' e pozitiv, deci semnul lui f' e semnul lui x(x + 2): f e crescătoare pe (−∞, −2], descrescătoare pe [−2, 0] și crescătoare pe [0, +∞).
f(−2) = 4 − 2 + 14 − 4 + 2 = 32, f(0) = 12, iar limx→−∞ f(x) = limx→+∞ f(x) = 1.
Deci 12 ≤ f(x) ≤ 32 pentru orice x real (valorile pe (−∞, −2] sunt între 1 și 32, pe [−2, 0] între 12 și 32, pe [0, +∞) între 12 și 1).
Adunând 12 ≤ f(x) ≤ 32 și 12 ≤ f(y) ≤ 32 obținem 1 ≤ f(x) + f(y) ≤ 3.
Răspuns
1 ≤ f(x) + f(y) ≤ 3
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ − 6x² + 12x + 5.