Rezolvare BAC 2023 Matematică M2 tehnologic, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2023 (Proba E.c) — 16.05.2023): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Calculați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ), știind că a₁ = 10 și a₂ = 20.

Rația: r = a₂ − a₁ = 10.
a₃ = a₂ + r = 30.
Răspuns
a₃ = 30
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 4. Arătați că f(0) + f(1) = 10.

f(0) = 4 și f(1) = 6, deci f(0) + f(1) = 10.
Răspuns
10
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x − 4) = log₂4.

x − 4 = 4, deci x = 8.
Pentru x = 8, x − 4 = 4 > 0, deci soluția convine.
Răspuns
x = 8
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Un produs costă 80 de lei. Determinați prețul produsului după o ieftinire cu 20%.

Ieftinirea: (20100)·80 = 16 lei.
Prețul după ieftinire: 80 − 16 = 64 de lei.
Răspuns
64 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(0, 2) și N(3, 6). Arătați că distanța dintre punctele M și N este egală cu 5.

MN = √(3 − 0)² + (6 − 2)² = √9 + 16 = 5.
Răspuns
MN = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 4 și măsura unghiului C egală cu 45°. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 8.

Unghiul C are 45°, deci și B are 45°: triunghiul e dreptunghic isoscel și AC = AB = 4.
Aria = AB·AC2 = 162 = 8.
Răspuns
Aria = 8
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = aa+3−12, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 9.

A(2) = 25−12.
det(A(2)) = 2·2 − 5·(−1) = 4 + 5 = 9.
Răspuns
det(A(2)) = 9
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(a) + A(−a) = 2A(0), pentru orice număr real a.

A(a) + A(−a) = aa+3−12 + −a−a+3−12 = 06−24.
Aceasta e 2·03−12 = 2A(0).
Răspuns
A(a) + A(−a) = 2A(0)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(A(a)·A(−1) − aI₂) = 0.

A(−1) = −12−12, deci A(a)·A(−1) = −2a−34a+6−12.
A(a)·A(−1) − aI₂ = −3a−34a+6−12−a, cu determinantul (−3a − 3)(2 − a) + 4a + 6 = 3a² + a.
3a² + a = 0, deci a = −13 sau a = 0.
Răspuns
a = −13 sau a = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ + 3X² + mX − 4, unde m este număr real.

a) (5p) Arătați că f(0) = −4, pentru orice număr real m.

f(0) = 0 + 0 + m·0 − 4 = −4.
Răspuns
f(0) = −4
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real m, știind că −1 este rădăcină a polinomului f.

f(−1) = −1 + 3 − m − 4 = −m − 2.
f(−1) = 0, deci m = −2.
Răspuns
m = −2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele naturale m pentru care x₁² + x₂² + x₃² > 5, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Din relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = −3 și x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = m.
x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² − 2(x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁) = 9 − 2m.
9 − 2m > 5 ⇔ m < 2; cu m natural: m = 0 sau m = 1.
Răspuns
m∈{0, 1}
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = x² − 3x + 4 + ln x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (2x − 1)(x − 1)x, x∈(0, +∞).

f'(x) = 2x − 3 + 1x = 2x² − 3x + 1x = (2x − 1)(x − 1)x.
Răspuns
f'(x) = (2x − 1)(x − 1)x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = 2 și f'(1) = 0.
Tangenta: y − 2 = 0·(x − 1), adică y = 2.
Răspuns
y = 2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(x) ≤ 114 − ln2, pentru orice x∈(0, 1].

f'(x) = 0 ⇔ x = 12 sau x = 1; f e crescătoare pe (0, 12] și descrescătoare pe [12, 1].
Pe (0, 1], f(x) ≤ f(12) = 14 − 32 + 4 + ln(12) = 114 − ln2.
Răspuns
f(x) ≤ f(12) = 114 − ln2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−32, +∞)→R, f(x) = eˣ + 62x + 3.