Rezolvare BAC 2024 Matematică M2 tehnologic, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din simularea 2024 (Simularea națională a clasei a XII-a — 05.03.2024): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (0,2 + 310)·10 = 5.

310 = 0,3, deci 0,2 + 0,3 = 0,5.
0,5·10 = 5.
Răspuns
5
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 3. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 7.

f(a) = 2a + 3 = 7, de unde a = 2.
Răspuns
a = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x² + 2x + 4 = 2.

Ridicând la pătrat: x² + 2x + 4 = 4, adică x(x + 2) = 0.
x = 0 sau x = −2, care convin (expresia de sub radical e 4).
Răspuns
x = 0 sau x = −2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) După o scumpire cu 50%, prețul unui obiect este de 225 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Dacă x e prețul inițial: x + (50100)x = 225, adică 3x2 = 225.
x = 150 de lei.
Răspuns
150 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 3), B(5, 0) și C(5, 5). Arătați că triunghiul ABC este isoscel.

AB = √(5 − 1)² + (0 − 3)² = √16 + 9 = 5.
BC = 5 − 0 = 5 (B și C au aceeași abscisă).
AB = BC, deci triunghiul ABC e isoscel.
Răspuns
AB = BC = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 3 și BC = 5. Arătați că tg B = 43.

AC = √25 − 9 = 4.
tg B = ACAB = 43.
Răspuns
tg B = 43
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 1002ˣ, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 4.

A(2) = 1004.
det(A(2)) = 1·4 − 0·0 = 4.
Răspuns
det(A(2)) = 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(3) + 2A(1) = 3A(2).

A(3) + 2A(1) = 1008 + 2004 = 30012.
Aceasta e 3·1004 = 3A(2).
Răspuns
A(3) + 2A(1) = 3A(2)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care A(x)·A(x²) = I₂.

A(x)·A(x²) = 1002ˣ·2^x² = 1002^x+x².
Egalitatea cu I₂ cere 2^{x + x²} = 1, adică x + x² = 0.
x = 0 sau x = −1.
Răspuns
x = 0 sau x = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = xy − x − y + 2.

a) (5p) Arătați că 2 ∘ 3 = 3.

2 ∘ 3 = 2·3 − 2 − 3 + 2 = 6 − 2 − 3 + 2 = 3.
Răspuns
2 ∘ 3 = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care x ∘ 4 = x + 6.

x ∘ 4 = 4x − x − 4 + 2 = 3x − 2.
3x − 2 = x + 6, de unde x = 4.
Răspuns
x = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că (x − 2) ∘ (x + 2) ≥ −3, pentru orice număr real x.

(x − 2) ∘ (x + 2) = (x² − 4) − (x − 2) − (x + 2) + 2 = x² − 2x − 2.
x² − 2x − 2 = (x − 1)² − 3 ≥ −3, pentru orice x real.
Răspuns
(x − 1)² − 3 ≥ −3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(2, +∞)→R, f(x) = eˣx² − 3.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ(x² − 2x − 3)(x² − 3)², x∈(2, +∞).

f'(x) = eˣ(x² − 3) − eˣ·2x(x² − 3)².
f'(x) = eˣ(x² − 2x − 3)(x² − 3)².
Răspuns
f'(x) = eˣ(x² − 2x − 3)(x² − 3)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→+∞ x·f(x)eˣ = 0.

x·f(x)eˣ = xx² − 3.
limx→+∞ xx² − 3 = limx→+∞ 1x(1 − 3/x²) = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că eˣ⁻³x² − 3 ≥ 16, pentru orice x∈(2, +∞).

x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1), deci pe (2, +∞): f'(x) = 0 ⇔ x = 3; f e descrescătoare pe (2, 3] și crescătoare pe [3, +∞).
Deci f(x) ≥ f(3) = e³6, pentru orice x∈(2, +∞).
eˣx² − 3 ≥ e³6; împărțind la e³: eˣ⁻³x² − 3 ≥ 16.
Răspuns
f(x) ≥ f(3) = e³6
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = x + ln x.