Rezolvare BAC 2018 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea I (vară) 2018 (Proba E.c) — sesiunea din vară 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 30·(13 − 0,3) = 1.

13 − 0,3 = 13 − 310 = 10 − 930 = 130.
30·(130) = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră x₁ și x₂ soluțiile ecuației x² − x + a = 0, unde a este număr real. Determinați valorile reale ale lui a pentru care x₁x₂ − 1 < 0.

Din relațiile lui Viète, x₁x₂ = a.
a − 1 < 0 ⇔ a ∈ (−∞, 1).
Răspuns
a ∈ (−∞, 1)
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3ˣ⁺¹ = 9ˣ.

9ˣ = 3²ˣ, deci ecuația devine 3ˣ⁺¹ = 3²ˣ, adică x + 1 = 2x.
x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților egală cu 3.

Sunt 90 de numere naturale de două cifre: 90 de cazuri posibile.
Numerele cu cifra unităților 3 sunt 13, 23, …, 93: 9 cazuri favorabile.
p = 990 = 110.
Răspuns
p = 110
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1,−1) și B(4,4). Demonstrați că punctele A, O și B sunt coliniare.

AO = √1 + 1 = √2 și OB = √16 + 16 = 4√2.
AB = √5² + 5² = 5√2 = AO + OB, deci punctul O se află pe segmentul AB, iar punctele A, O și B sunt coliniare.
Răspuns
AB = AO + OB, deci A, O, B coliniare
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Demonstrați că (sin x + cos x)² − sin2x = 1, pentru orice număr real x.

(sin x + cos x)² = sin²x + 2sin x·cos x + cos²x, iar sin2x = 2sin x·cos x.
Diferența este sin²x + cos²x = 1, pentru orice număr real x.
Răspuns
1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1−526, B = 65−21 și I₂ = 1001.

a) (5p) Arătați că det A = 16.

det A = 1−526 = 1·6 − 2·(−5) = 6 + 10 = 16.
Răspuns
det A = 16
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real a pentru care A·B = aI₂.

A·B = 1−526·65−21 = 6+105−512−1210+6 = 160016.
Din 160016 = a00a obținem a = 16.
Răspuns
a = 16
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că det(xA + (1x)·B) ≥ 49, pentru orice număr real nenul x.

xA + (1x)·B = x + 6x−5x + 5x2x − 2x6x + 1x.
det = (x + 6x)(6x + 1x) − (−5x + 5x)(2x − 2x) = (6x² + 37 + 6x²) − (−10x² + 20 − 10x²) = 16x² + 16x² + 17.
16x² + 16x² + 17 ≥ 49 ⇔ 16x² + 16x² − 32 ≥ 0 ⇔ 16(x − 1x)² ≥ 0, adevărat pentru orice număr real nenul x.
Răspuns
det(xA + (1x)·B) = 16x² + 16x² + 17 ≥ 49
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y = 5xy + 15(x + y) + 42.

a) (5p) Arătați că (−2)∘(−2) = 2.

(−2)∘(−2) = 5·(−2)·(−2) + 15·(−4) + 42 = 20 − 60 + 42 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x∘y = 5(x + 3)(y + 3) − 3, pentru orice numere reale x și y.

x∘y = 5xy + 15x + 15y + 45 − 3.
= 5x(y + 3) + 15(y + 3) − 3 = 5(x + 3)(y + 3) − 3, pentru orice numere reale x și y.
Răspuns
x∘y = 5(x + 3)(y + 3) − 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x, pentru care (x − 3)∘(x − 3)∘(x − 3) = 197.

Folosim b): (x − 3)∘(x − 3) = 5x·x − 3 = 5x² − 3.
(x − 3)∘(x − 3)∘(x − 3) = (5x² − 3)∘(x − 3) = 5·5x²·x − 3 = 25x³ − 3.
25x³ − 3 = 197 ⇔ x³ = 8 ⇔ x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x − 2)eˣ.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (x − 1)eˣ, x∈R.

f'(x) = 1·eˣ + (x − 2)eˣ.
= eˣ(1 + x − 2) = (x − 1)eˣ.
Răspuns
f'(x) = (x − 1)eˣ
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→−∞ f(x) = 0.

limx→−∞ f(x) = limx→−∞ x − 2e⁻ˣ, o nedeterminare de tipul ∞/∞; aplicăm regula lui l'Hôpital.
= limx→−∞ 1−e⁻ˣ = 0, fiindcă e⁻ˣ → +∞ când x → −∞.
Răspuns
0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că −e ≤ f(x) ≤ 0, pentru orice x∈(−∞,2].

f'(x) ≤ 0 pe (−∞,1], deci f e descrescătoare pe (−∞,1]; f'(x) ≥ 0 pe [1,2], deci f e crescătoare pe [1,2].
f(1) = −e este valoarea minimă pe (−∞,2], deci f(x) ≥ −e.
Pe (−∞,2], x − 2 ≤ 0 și eˣ > 0, deci f(x) ≤ 0 (de altfel f(2) = 0 și limx→−∞ f(x) = 0).
Așadar −e ≤ f(x) ≤ 0, pentru orice x∈(−∞,2].
Răspuns
−e ≤ f(x) ≤ 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x² + 1.