Rezolvare BAC 2019 Matematică M2 tehnologic, sesiunea a II-a, rezervă

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea a II-a, rezervă 2019 (Varianta de rezervă a sesiunii de toamnă 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 6√3 + 2(1 − √27) = 2.

√27 = √9·3 = 3√3.
6√3 + 2(1 − 3√3) = 6√3 + 2 − 6√3 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 4. Calculați f(0)·f(1)·f(2).

f(2) = 4 − 4 = 0.
Un factor al produsului e 0, deci f(0)·f(1)·f(2) = (−4)·(−3)·0 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₅(20x − 6) = log₅14.

Logaritmul e injectiv: 20x − 6 = 14, deci 20x = 20 și x = 1.
Pentru x = 1, 20x − 6 = 14 > 0, deci x = 1 convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) După o scumpire cu 10%, un obiect costă 440 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Fie x prețul inițial: x + (10100)·x = 440, adică (1110)·x = 440.
x = 440·1011 = 400 de lei.
Răspuns
400 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,4), B(0,6) și C(6,0). Calculați distanța de la punctul A la mijlocul segmentului BC.

Mijlocul M al lui BC: x_M = 0 + 62 = 3, y_M = 6 + 02 = 3, deci M(3,3).
AM = √(3 − 3)² + (4 − 3)² = √1 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că cos30°/(1 + sin30°) = tg30°.

cos30° = √32, sin30° = 12, tg30° = √33.
cos30°/(1 + sin30°) = √3/23/2 = (√32)·(23) = √33 = tg30°.
Răspuns
ambii membri sunt √33
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele M = −12−6−9 și A(a) = a+1a+2a−2a+1, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det M = 21.

det M = −12−6−9 = (−1)·(−9) − (−6)·2 = 9 + 12 = 21.
Răspuns
21
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(−a) + A(a) = 2A(0), pentru orice număr real a.

A(−a) + A(a) = −a+1−a+2−a−2−a+1 + a+1a+2a−2a+1 = 24−42.
24−42 = 2·12−21 = 2A(0), pentru orice număr real a.
Răspuns
A(−a) + A(a) = 2A(0)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale a și b pentru care A(a)·A(b) = M.

A(a)·A(b) = 2ab−a+3b−32ab+3a+3b+42ab−a−b−42ab+3a−b−3.
Egalând cu M: 2ab − a + 3b − 3 = −1, 2ab + 3a + 3b + 4 = 2, 2ab − a − b − 4 = −6 și 2ab + 3a − b − 3 = −9.
Scăzând a treia ecuație din prima: 4b + 1 = 5, deci b = 1. Scăzând prima din a doua: 4a + 7 = 3, deci a = −1.
Verificare pentru a = −1, b = 1: −2 + 1 + 3 − 3 = −1, −2 − 3 + 3 + 4 = 2, −2 + 1 − 1 − 4 = −6, −2 − 3 − 1 − 3 = −9.
Răspuns
a = −1, b = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = 2(x + y) − xy2.

a) (5p) Arătați că 2∘(−2) = 2.

2∘(−2) = 2(2 + (−2)) − 2·(−2)2 = 0 + 42 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul natural nenul n pentru care n∘(1n) = 92.

n∘(1n) = 2(n + 1n) − n·(1/n)2 = 2(n + 1n) − 12.
2(n + 1n) − 12 = 92 ⇔ n + 1n = 52 ⇔ 2n² − 5n + 2 = 0, cu soluțiile n = 2 și n = 12.
Cum n este număr natural nenul, n = 2.
Răspuns
n = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real y astfel încât x∘y = 8, pentru orice număr real x.

2(x + y) − xy2 = 8 ⇔ 4x + 4y − xy − 16 = 0 ⇔ (x − 4)(4 − y) = 0.
Egalitatea trebuie să aibă loc pentru orice număr real x, deci 4 − y = 0, adică y = 4.
Răspuns
y = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xx² + 4.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (2 − x)(2 + x)(x² + 4)², x∈R.

f'(x) = 1·(x² + 4) − x·2x(x² + 4)² = 4 − x²(x² + 4)².
4 − x² = (2 − x)(2 + x), deci f'(x) = (2 − x)(2 + x)(x² + 4)².
Răspuns
f'(x) = (2 − x)(2 + x)(x² + 4)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f.

limx→−∞ xx² + 4 = limx→−∞ 1x(1 + 4/x²) = 0.
Dreapta de ecuație y = 0 este asimptotă orizontală spre −∞ la graficul funcției f.
Răspuns
y = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați mulțimea valorilor funcției f.

f'(x) ≤ 0 pe (−∞, −2], f'(x) ≥ 0 pe [−2, 2] și f'(x) ≤ 0 pe [2, +∞): f descrește pe (−∞, −2], crește pe [−2, 2] și descrește pe [2, +∞).
f(−2) = −28 = −14, f(2) = 28 = 14, iar limx→−∞ f(x) = limx→+∞ f(x) = 0.
f e continuă, deci pe (−∞, −2] ia valorile [−14, 0), pe [−2, 2] valorile [−14, 14], iar pe [2, +∞) valorile (0, 14].
Mulțimea valorilor lui f este [−14, 14].
Răspuns
[−14, 14]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = 1x + 1 − 1x + 2.