Rezolvare BAC 2017 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I, rezervă, pas cu pas

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (2 − 12) : (12) = 3.

2 − 12 = 42 − 12 = 32.
(32) : (12) = (32)·2 = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 1. Calculați f(−1)·f(1).

f(−1) = 1 + 1 = 2 și f(1) = 1 + 1 = 2.
f(−1)·f(1) = 2·2 = 4.
Răspuns
4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3²ˣ⁺² = 9.

9 = 3², deci ecuația devine 3²ˣ⁺² = 3².
Exponenții sunt egali: 2x + 2 = 2, deci x = 0.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}, acesta să fie multiplu de 2.

A are 9 elemente: 9 cazuri posibile.
Multiplii de 2 din A sunt 22, 44, 66 și 88: 4 cazuri favorabile.
p = 49.
Răspuns
p = 49
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,1) și B(2,−1). Arătați că AO = OB.

AO = √2² + 1² = √5.
OB = √2² + (−1)² = √5, deci AO = OB.
Răspuns
AO = OB = √5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin²45° − cos²60° = 14.

sin45° = √22 și cos60° = 12.
sin²45° − cos²60° = 24 − 14 = 14.
Răspuns
14
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1331 și B = 022x, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = −8.

det A = 1331 = 1·1 − 3·3 = 1 − 9 = −8.
Răspuns
det A = −8
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A·A − 2A = 8I₂, unde I₂ = 1001.

A·A = 1331·1331 = 106610, iar 2A = 2662.
A·A − 2A = 8008 = 8·1001 = 8I₂.
Răspuns
A·A − 2A = 8I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că det(A·B − B·A) ≥ 0, pentru orice număr real x.

A·B = 62+3x26+x și B·A = 622+3x6+x.
A·B − B·A = 03x−3x0, deci det(A·B − B·A) = 03x−3x0 = 0 + 9x² = 9x².
9x² ≥ 0, pentru orice număr real x.
Răspuns
det(A·B − B·A) = 9x² ≥ 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = 2X³ + 3X² − X − 2.

a) (5p) Arătați că f(1) = 2.

f(1) = 2·1³ + 3·1² − 1 − 2 = 2 + 3 − 1 − 2 = 2.
Răspuns
f(1) = 2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X + 1.

Restul este f(−1) = −2 + 3 + 1 − 2 = 0.
Împărțind (de exemplu cu schema lui Horner, coeficienții 2, 3, −1, −2 și a = −1): 2, 3 + (−1)·2 = 1, −1 + (−1)·1 = −2, −2 + (−1)·(−2) = 0.
Câtul este 2X² + X − 2, iar restul este 0.
Răspuns
câtul 2X² + X − 2, restul 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați rădăcinile polinomului f.

Din b): f = (X + 1)(2X² + X − 2), deci x₁ = −1.
2x² + x − 2 = 0: Δ = 1 + 16 = 17, deci x₂,₃ = −1 ± √174.
Răspuns
x₁ = −1, x₂ = −1 − √174, x₃ = −1 + √174
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x⁴ − 2x² + 12.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 4x(x − 1)(x + 1), x ∈ R.

f'(x) = 4x³ − 4x.
4x³ − 4x = 4x(x² − 1) = 4x(x − 1)(x + 1).
Răspuns
f'(x) = 4x(x − 1)(x + 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→+∞ x² + 1f(x) − x⁴ = −12.

f(x) − x⁴ = −2x² + 12, deci limita este limx→+∞ x² + 1−2x² + 12.
Împărțind cu x²: limx→+∞ 1 + 1/x²−2 + 12/x² = 1−2 = −12.
Răspuns
−12
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = 1 − 2 + 12 = 11 și f'(1) = 4·1·0·2 = 0.
Tangenta: y − f(1) = f'(1)(x − 1), adică y − 11 = 0, deci y = 11.
Răspuns
y = 11
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x² + 2x − 4.