Rezolvare BAC 2017 Matematică M2 tehnologic, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din modelul 2017 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (12 + 13) : (56) = 1.

12 + 13 = 36 + 26 = 56.
(56) : (56) = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 3. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f cu axa Oy.

Punctul de pe axa Oy are abscisa x = 0.
f(0) = 3, deci punctul de intersecție este (0, 3).
Răspuns
(0, 3)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg(x² + 5) = lg9.

Logaritmul e injectiv: x² + 5 = 9, deci x² = 4.
x = −2 sau x = 2; pentru ambele x² + 5 = 9 > 0, deci verifică ecuația.
Răspuns
x = −2 sau x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) După o ieftinire cu 10%, prețul unui obiect este 270 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Fie p prețul inițial. După ieftinire: p − (10100)·p = (910)·p = 270.
p = 270·109 = 300 de lei.
Răspuns
300 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,1) și B(3,5). Calculați distanța de la punctul O(0,0) la mijlocul segmentului AB.

Mijlocul lui AB: M(3 + 32, 1 + 52) = M(3, 3).
OM = √(3 − 0)² + (3 − 0)² = √18 = 3√2.
Răspuns
3√2
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Dacă x ∈ (0, π2) și cos x = √22, arătați că tg x = 1.

sin²x = 1 − cos²x = 1 − 24 = 12; cum x ∈ (0, π2), sin x > 0, deci sin x = √22.
tg x = sin xcos x = √2/2√2/2 = 1.
Răspuns
tg x = 1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1248, B = 8421 și I₂ = 1001.

a) (5p) Calculați det A.

det A = 1248 = 1·8 − 2·4 = 8 − 8 = 0.
Răspuns
det A = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că 9(A + B) − (A·B + B·A) = 45I₂.

A·B = 1264824 și B·A = 2448612, deci A·B + B·A = 36545436.
A + B = 9669, deci 9(A + B) = 81545481.
9(A + B) − (A·B + B·A) = 450045 = 45I₂.
Răspuns
9(A + B) − (A·B + B·A) = 45I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x, pentru care det(A + xI₂) = 0.

A + xI₂ = 1+x248+x, deci det(A + xI₂) = (1 + x)(8 + x) − 8 = x² + 9x.
x² + 9x = 0 ⇔ x(x + 9) = 0, deci x = −9 sau x = 0.
Răspuns
x = −9 sau x = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ − 3X² − 6X + 8.

a) (5p) Arătați că f(2) = −8.

f(2) = 2³ − 3·2² − 6·2 + 8 = 8 − 12 − 12 + 8 = −8.
Răspuns
f(2) = −8
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X − 1.

Restul este f(1) = 1 − 3 − 6 + 8 = 0.
Cu schema lui Horner (coeficienții 1, −3, −6, 8 și rădăcina 1): 1, 1·1 − 3 = −2, (−2)·1 − 6 = −8, (−8)·1 + 8 = 0.
Câtul este X² − 2X − 8, iar restul 0.
Răspuns
câtul X² − 2X − 8, restul 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că (x₁ + 1)² + (x₂ + 1)² + (x₃ + 1)² = 30, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = 3 și x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = −6.
x₁² + x₂² + x₃² = 3² − 2·(−6) = 9 + 12 = 21.
(x₁ + 1)² + (x₂ + 1)² + (x₃ + 1)² = (x₁² + x₂² + x₃²) + 2(x₁ + x₂ + x₃) + 3 = 21 + 6 + 3 = 30.
Răspuns
30
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 6(x − 1)(x − 2), x∈R.

f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2).
x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), deci f'(x) = 6(x − 1)(x − 2).
Răspuns
f'(x) = 6(x − 1)(x − 2)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Calculați limx→+∞ 2x³ − f(x)f'(x).

2x³ − f(x) = 9x² − 12x − 1, iar f'(x) = 6x² − 18x + 12.
limx→+∞ 9x² − 12x − 16x² − 18x + 12 = limx→+∞ 9 − 12/x − 1/x²6 − 18/x + 12/x² = 96 = 32.
Răspuns
32
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = 2 − 9 + 12 + 1 = 6 și f'(1) = 6·0·(−1) = 0.
Tangenta: y − f(1) = f'(1)(x − 1), adică y − 6 = 0, deci y = 6.
Răspuns
y = 6
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 2x.