Rezolvare BAC 2020 Matematică M2 tehnologic, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2020 (Proba E.c) — sesiunea specială 2020): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √5(1 + 2√5) − √5 = 10.

√5(1 + 2√5) = √5 + 2·√5·√5 = √5 + 10.
√5 + 10 − √5 = 10.
Răspuns
10
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 3x + 1. Arătați că f(1) = f(2).

f(1) = 1 − 3 + 1 = −1.
f(2) = 4 − 6 + 1 = −1, deci f(1) = f(2).
Răspuns
f(1) = f(2) = −1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₅(x² − 21) = log₅4.

Logaritmul e injectiv: x² − 21 = 4, deci x² = 25.
x = −5 sau x = 5; pentru ambele x² − 21 = 4 > 0, deci convin.
Răspuns
x ∈ {−5, 5}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) După o scumpire cu 10%, un obiect costă 220 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Dacă x este prețul inițial: x + (10100)·x = 220, adică (1110)·x = 220.
x = 220·1011 = 200 de lei.
Răspuns
200 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,8) și B(0,4). Știind că punctul M este mijlocul segmentului AB, determinați coordonatele punctului M.

x_M = 4 + 02 = 2.
y_M = 8 + 42 = 6.
Răspuns
M(2,6)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) În triunghiul ABC, m(∢B) = m(∢C) = 60°. Calculați cosinusul unghiului A.

m(∢A) = 180° − 60° − 60° = 60°.
cos A = cos 60° = 12.
Răspuns
cos A = 12
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 16−1−4, B = 1224 și O₂ = 0000.

a) (5p) Arătați că det A = 2.

det A = 16−1−4 = 1·(−4) − (−1)·6 = −4 + 6 = 2.
Răspuns
det A = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că B·A + B = O₂.

B·A = 1·1+2·(−1)1·6+2·(−4)2·1+4·(−1)2·6+4·(−4) = −1−2−2−4 = −B.
Deci B·A + B = −B + B = O₂.
Răspuns
B·A + B = O₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele naturale n pentru care det(B + nA) = det B + n·det A.

B + nA = 1+n2+6n2−n4−4n, deci det(B + nA) = (1 + n)(4 − 4n) − (2 + 6n)(2 − n) = 4 − 4n² − (4 + 10n − 6n²) = 2n² − 10n.
det B = 1224 = 4 − 4 = 0, iar n·det A = 2n.
2n² − 10n = 2n ⇔ 2n² − 12n = 0 ⇔ 2n(n − 6) = 0, deci n = 0 sau n = 6, ambele naturale.
Răspuns
n ∈ {0, 6}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = x + 2y + 1.

a) (5p) Arătați că 1∘(−1) = 0.

1∘(−1) = 1 + 2·(−1) + 1 = 1 − 2 + 1 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x∘(−12) = x, pentru orice număr real x.

x∘(−12) = x + 2·(−12) + 1 = x − 1 + 1 = x, pentru orice număr real x.
Răspuns
x∘(−12) = x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că legea de compoziție „∘” nu admite element neutru.

Presupunem că legea admite elementul neutru e; atunci 0∘e = 0 și e∘0 = 0.
0∘e = 0 ⇔ 2e + 1 = 0 ⇔ e = −12, iar e∘0 = 0 ⇔ e + 1 = 0 ⇔ e = −1.
Am obținut e = −12 și e = −1 simultan, contradicție; deci legea nu admite element neutru.
Răspuns
nu admite element neutru
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 2x² + 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = −2x(x² + 1)², x∈R.

f'(x) = 2x(x² + 1) − 2x(x² + 2)(x² + 1)².
Numărătorul: 2x(x² + 1 − x² − 2) = 2x·(−1) = −2x, deci f'(x) = −2x(x² + 1)².
Răspuns
f'(x) = −2x(x² + 1)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ x² + 2x² + 1 = limx→+∞ 1 + 2/x²1 + 1/x² = 1.
Dreapta de ecuație y = 1 este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul lui f.
Răspuns
y = 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(x) + ln(x² + 1) < 52, pentru orice x ∈ [0,1].

Fie g:[0,1]→R, g(x) = f(x) + ln(x² + 1). Atunci g'(x) = −2x(x² + 1)² + 2xx² + 1 = −2x + 2x(x² + 1)(x² + 1)² = 2x³(x² + 1)².
g'(x) ≥ 0 pe [0,1], deci g e crescătoare și g(x) ≤ g(1), pentru orice x ∈ [0,1].
g(1) = 32 + ln2 < 32 + 1 = 52 (fiindcă ln2 < ln e = 1), deci f(x) + ln(x² + 1) < 52.
Răspuns
f(x) + ln(x² + 1) ≤ 32 + ln2 < 52
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = eˣx + 1.