Rezolvare BAC 2021 Matematică M2 tehnologic, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din modelul 2021 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (0,25·10 − 12)(0,25·10 + 12) = 6.

0,25·10 = 2,5 și 12 = 0,5, deci produsul este (2,5 − 0,5)(2,5 + 0,5).
= 2·3 = 6.
Răspuns
6
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − ax + 1, unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că punctul A(2,1) aparține graficului funcției f.

A(2,1) aparține graficului ⇔ f(2) = 1 ⇔ 4 − 2a + 1 = 1.
2a = 4, deci a = 2.
Răspuns
a = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3ˣ⁺² + 3ˣ = 30.

3ˣ⁺² = 9·3ˣ, deci 3ˣ(3² + 1) = 30 ⇔ 10·3ˣ = 30 ⇔ 3ˣ = 3.
Deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Un obiect costă 500 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 20%.

Scumpirea: (20100)·500 = 100 de lei.
Prețul după scumpire: 500 + 100 = 600 de lei.
Răspuns
600 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,3) și B(8,3). Punctul M este mijlocul segmentului AB. Calculați distanța de la punctul M la punctul O(0,0).

M are coordonatele (0 + 82, 3 + 32) = (4, 3).
OM = √(4 − 0)² + (3 − 0)² = √25 = 5.
Răspuns
OM = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 5 și AC = 10. Calculați aria triunghiului ABC.

Catetele sunt AB și AC, deci aria = AB·AC2.
Aria = 5·102 = 25.
Răspuns
25
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1312 și I₂ = 1001.

a) (5p) Arătați că det A = −1.

det A = 1312 = 1·2 − 1·3 = 2 − 3 = −1.
Răspuns
det A = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A·A − 3A = I₂.

A·A = 1·1+3·11·3+3·21·1+2·11·3+2·2 = 4937.
A·A − 3A = 4937 − 3936 = 1001 = I₂.
Răspuns
A·A − 3A = I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Se consideră matricea X = 1xy1, unde x și y sunt numere reale. Determinați numerele reale x și y pentru care A·X − X·A = −21−12.

A·X = 1+3yx+31+2yx+2 și X·A = 1+x3+2xy+13y+2.
A·X − X·A = 3y−x−xyx−3y = −21−12.
Din −x = 1 și y = −1 obținem x = −1, y = −1. Verificare: 3y − x = −3 + 1 = −2 și x − 3y = −1 + 3 = 2.
Răspuns
x = −1, y = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = 4xy + x + y.

a) (5p) Arătați că 3∘2 = 29.

3∘2 = 4·3·2 + 3 + 2 = 24 + 5 = 29.
Răspuns
3∘2 = 29
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x∘y = (4x + 1)(4y + 1) − 14, pentru orice numere reale x și y.

x∘y = 16xy + 4x + 4y4 = 16xy + 4x + 4y + 1 − 14.
16xy + 4x + 4y + 1 = 4x(4y + 1) + (4y + 1) = (4x + 1)(4y + 1).
Deci x∘y = (4x + 1)(4y + 1) − 14.
Răspuns
x∘y = (4x + 1)(4y + 1) − 14
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care x∘x ≤ 2.

Din b): x∘x = (4x + 1)² − 14.
(4x + 1)² − 14 ≤ 2 ⇔ (4x + 1)² ≤ 9 ⇔ −3 ≤ 4x + 1 ≤ 3.
−4 ≤ 4x ≤ 2, deci −1 ≤ x ≤ 12.
Răspuns
x ∈ [−1, 12]
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ + xx² + 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ + 1 − x²(x² + 1)², x ∈ R.

f'(x) = eˣ + 1·(x² + 1) − x·2x(x² + 1)².
Numărătorul: x² + 1 − 2x² = 1 − x², deci f'(x) = eˣ + 1 − x²(x² + 1)².
Răspuns
f'(x) = eˣ + 1 − x²(x² + 1)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f.

limx→−∞ eˣ = 0 și limx→−∞ xx² + 1 = limx→−∞ 1x + 1/x = 0.
Deci limx→−∞ f(x) = 0, iar dreapta y = 0 este asimptota orizontală spre −∞.
Răspuns
y = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 2 − e2e ≤ f(x) ≤ 2e + 12, pentru orice x ∈ [−1, 1].

Pentru x ∈ [−1, 1]: 1 − x² ≥ 0 și eˣ > 0, deci f'(x) > 0 și f e crescătoare pe [−1, 1].
Atunci f(−1) ≤ f(x) ≤ f(1) pentru orice x ∈ [−1, 1].
f(−1) = 1e − 12 = 2 − e2e și f(1) = e + 12 = 2e + 12, deci 2 − e2e ≤ f(x) ≤ 2e + 12.
Răspuns
f(−1) ≤ f(x) ≤ f(1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:[0,+∞)→R, f(x) = (x + 1)√x.