Rezolvare BAC 2021 Matematică M3 pedagogic, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din modelul 2021 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √3·(1√3 − 1 + 1√3 + 1) = 3.

Aducem la același numitor: 1√3 − 1 + 1√3 + 1 = √3 + 1 + √3 − 1(√3 − 1)(√3 + 1) = 2√32 = √3.
√3·√3 = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − 2. Determinați numerele naturale n pentru care f(n) < 0.

f(n) = n − 2 < 0 ⇔ n < 2.
Numerele naturale mai mici decât 2 sunt 0 și 1.
Răspuns
n ∈ {0, 1}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(x² − 1) = 1.

Din definiția logaritmului: x² − 1 = 3¹ = 3, deci x² − 4 = 0.
x = −2 sau x = 2; pentru ambele x² − 1 = 3 > 0, deci convin.
Răspuns
x ∈ {−2, 2}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) După o scumpire cu 20%, prețul unui obiect este 660 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Notăm cu x prețul inițial: x + (20100)·x = 660, adică (120100)·x = 660.
x = 660·100120 = 550 de lei.
Răspuns
550 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul M(2,0) și este paralelă cu dreapta d de ecuație y = 3x.

Dreptele paralele au aceeași pantă, deci panta dreptei căutate este 3.
Ecuația: y − 0 = 3(x − 2), adică y = 3x − 6.
Răspuns
y = 3x − 6
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați aria rombului ABCD, știind că AC = 2√5 și BD = 4.

Aria rombului este jumătate din produsul diagonalelor: AC·BD2.
Aria = 2√5·42 = 4√5.
Răspuns
4√5
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = 3xy + 7(x + y) + 14.

1. (5p) Arătați că (−3)∗3 = −13.

(−3)∗3 = 3·(−3)·3 + 7·(−3 + 3) + 14.
= −27 + 0 + 14 = −13.
Răspuns
−13
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că legea de compoziție „∗” este comutativă.

x∗y = 3xy + 7(x + y) + 14 = 3yx + 7(y + x) + 14 = y∗x, pentru orice numere reale x și y, deci legea este comutativă.
Răspuns
x∗y = y∗x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că x∗y = 3(x + 73)(y + 73) − 73, pentru orice numere reale x și y.

14 = 493 − 73, deci x∗y = 3xy + 7x + 7y + 493 − 73.
3xy + 7x + 7y + 493 = 3x(y + 73) + 7(y + 73) = (3x + 7)(y + 73) = 3(x + 73)(y + 73).
Deci x∗y = 3(x + 73)(y + 73) − 73.
Răspuns
x∗y = 3(x + 73)(y + 73) − 73
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care x∗x = x.

x∗x = 3x² + 14x + 14, deci ecuația devine 3x² + 14x + 14 = x ⇔ 3x² + 13x + 14 = 0.
Δ = 169 − 168 = 1, deci x = −13 − 16 = −73 sau x = −13 + 16 = −2.
Răspuns
x ∈ {−73, −2}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Arătați că x∗(1x) ≥ 31, pentru orice număr real x, x > 0.

x∗(1x) = 3·x·(1x) + 7(x + 1x) + 14 = 17 + 7(x + 1x).
x∗(1x) ≥ 31 ⇔ 7(x + 1x) ≥ 14 ⇔ x + 1x ≥ 2.
Pentru x > 0: x + 1x − 2 = (x − 1)²x ≥ 0, adevărat, deci x∗(1x) ≥ 31.
Răspuns
x∗(1x) ≥ 31
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numărul real x pentru care 3ˣ∗3ˣ = 83.

Din 3.: 3ˣ∗3ˣ = 3(3ˣ + 73)² − 73 = 83 ⇔ 3(3ˣ + 73)² = 2563 ⇔ (3ˣ + 73)² = 2569.
Cum 3ˣ > 0, 3ˣ + 73 > 0, deci 3ˣ + 73 = 163, adică 3ˣ = 3.
Deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 3aa3, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det(A(1)) = 8.

A(1) = 3113, deci det(A(1)) = 3113 = 3·3 − 1·1 = 9 − 1 = 8.
Răspuns
8
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că A(0)·A(2020) = 3A(2020).

A(0) = 3003 = 3I₂.
A(0)·A(2020) = 3I₂·A(2020) = 3A(2020).
Răspuns
A(0)·A(2020) = 3A(2020)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(A(a)) = −16.

det(A(a)) = 3aa3 = 9 − a².
9 − a² = −16 ⇔ a² = 25, deci a = −5 sau a = 5.
Răspuns
a ∈ {−5, 5}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că A(1) + A(2) + … + A(10) = 10A(112).

A(1) + A(2) + … + A(10) = 3·101+2+…+101+2+…+103·10 = 30555530.
10A(112) = 10·31121123 = 30555530, deci egalitatea este adevărată.
Răspuns
A(1) + … + A(10) = 10A(112)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numărul natural m pentru care matricea B = A(m) + A(m²) nu este inversabilă.

B = 6m+m²m+m²6, deci det B = 36 − (m + m²)².
B nu e inversabilă ⇔ det B = 0 ⇔ (m + m²)² = 36; cum m e natural, m + m² ≥ 0, deci m² + m = 6.
m² + m − 6 = 0 ⇔ (m − 2)(m + 3) = 0, iar soluția naturală este m = 2.
Răspuns
m = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați perechile de numere întregi (a, b) pentru care suma elementelor matricei A(a)·A(b) este egală cu 2.

A(a)·A(b) = 9+ab3b+3a3a+3bab+9.
Suma elementelor: 2(9 + ab) + 6(a + b) = 2 ⇔ ab + 3a + 3b + 9 = 1 ⇔ (a + 3)(b + 3) = 1.
Cu a, b întregi: a + 3 = b + 3 = 1 sau a + 3 = b + 3 = −1, deci (a, b) = (−2, −2) sau (−4, −4).
Răspuns
(−2, −2) și (−4, −4)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri