Rezolvare BAC 2020 Matematică M3 pedagogic, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea a II-a (toamnă) 2020 (Proba E.c) — octombrie 2020): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √96·(√64 − 1√6) = 2.

√96 = 4√6, iar √64 − 1√6 = 6 − 44√6 = 24√6.
Produsul: 4√6·24√6 = 2. (Altfel: 4√6·√64 − 4√6√6 = 6 − 4 = 2.)
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 3x + 1 și g:R→R, g(x) = x − 1. Determinați numărul natural n pentru care f(n)·g(n) = 0.

(3n + 1)(n − 1) = 0, deci n = −13 sau n = 1.
Cum n este număr natural, n = 1.
Răspuns
n = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3²ˣ⁺⁵ = 3⁶ˣ⁻³.

Puterile cu aceeași bază sunt egale ⇔ exponenții sunt egali: 2x + 5 = 6x − 3.
4x = 8, deci x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor egală cu dublul cifrei unităților.

Numerele de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
Cifra zecilor dublul cifrei unităților: 21, 42, 63, 84 (unitățile 0 dau zecile 0, imposibil): 4 cazuri favorabile.
p = 490 = 245.
Răspuns
p = 245
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele necoliniare A(1,3), B(3,5) și C(0,a), unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că triunghiul ABC este dreptunghic în A.

Panta lui AB: 5 − 33 − 1 = 1; panta lui AC: a − 30 − 1 = 3 − a.
AB ⊥ AC ⇔ 1·(3 − a) = −1, deci a = 4.
Răspuns
a = 4
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că √3·sin60° + sin30° − 4sin²30° = 1.

sin60° = √32 și sin30° = 12.
√3·(√32) + 12 − 4·(14) = 32 + 12 − 1 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y = −xy + 4x + 4y − 12.

1. (5p) Arătați că 2∘3 = 2.

2∘3 = −2·3 + 4·2 + 4·3 − 12 = −6 + 8 + 12 − 12 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

x∘y = −xy + 4x + 4y − 12 = −yx + 4y + 4x − 12 = y∘x, pentru orice numere reale x și y.
Răspuns
x∘y = y∘x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Demonstrați că x∘y = −(x − 4)(y − 4) + 4, pentru orice numere reale x și y.

x∘y = −xy + 4x + 4y − 16 + 4.
−xy + 4x + 4y − 16 = −x(y − 4) + 4(y − 4) = −(x − 4)(y − 4), deci x∘y = −(x − 4)(y − 4) + 4.
Răspuns
x∘y = −(x − 4)(y − 4) + 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Demonstrați că x∘4 = 4, pentru orice număr real x.

x∘4 = −(x − 4)(4 − 4) + 4 = −(x − 4)·0 + 4 = 4, pentru orice număr real x.
Răspuns
x∘4 = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale x pentru care x∘x = x.

x∘x = −(x − 4)² + 4.
−(x − 4)² + 4 = x ⇔ −(x − 4)² − (x − 4) = 0 ⇔ (x − 4)(x − 4 + 1) = 0 ⇔ (x − 4)(x − 3) = 0.
x = 3 sau x = 4.
Răspuns
x ∈ {3, 4}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Se consideră progresia aritmetică (aₙ)ₙ≥₁ cu a₁ = −5 și rația r = 3. Arătați că a₁∘a₂∘a₃∘a₄ = 4.

a₄ = a₁ + 3r = −5 + 9 = 4.
Legea e asociativă, deci a₁∘a₂∘a₃∘a₄ = (a₁∘a₂∘a₃)∘4, iar din 4., orice număr compus cu 4 dă 4.
Răspuns
a₁∘a₂∘a₃∘a₄ = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 12−11, I₂ = 1001 și B(x) = 1x01, unde x este număr real.

1. (5p) Arătați că det A = 3.

det A = 12−11 = 1·1 − (−1)·2 = 1 + 2 = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că B(1) + B(3) = 2B(2).

B(1) + B(3) = 1101 + 1301 = 2402 = 2·1201 = 2B(2).
Răspuns
B(1) + B(3) = 2B(2)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că det(B(x)) = 1, pentru orice număr real x.

det(B(x)) = 1x01 = 1·1 − x·0 = 1, pentru orice număr real x.
Răspuns
1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că B(x)·B(y) = B(x + y), pentru orice numere reale x și y.

B(x)·B(y) = 1x01·1y01 = 1x+y01 = B(x + y).
Răspuns
B(x)·B(y) = B(x + y)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numărul real x pentru care A·B(x) = B(x)·A.

A·B(x) = 1x+2−1−x+1 și B(x)·A = 1−x2+x−11.
Egalitatea elementelor: 1 = 1 − x și −x + 1 = 1, deci x = 0.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați perechile de numere naturale (m, n), pentru care B(2ᵐ)·B(2ⁿ) = B(2ᵐ⁺ⁿ − 2).

Din 4.: B(2ᵐ + 2ⁿ) = B(2ᵐ⁺ⁿ − 2), deci 2ᵐ + 2ⁿ = 2ᵐ⁺ⁿ − 2.
Echivalent 2ᵐ⁺ⁿ − 2ᵐ − 2ⁿ + 1 = 3, adică (2ᵐ − 1)(2ⁿ − 1) = 3.
Pentru m, n naturale, factorii sunt naturali, deci {2ᵐ − 1, 2ⁿ − 1} = {1, 3}: m = 1, n = 2 sau m = 2, n = 1.
Răspuns
(m, n) ∈ {(1, 2), (2, 1)}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri