Rezolvare BAC 2019 Matematică M3 pedagogic, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea I (vară) 2019 (Proba E.c) — sesiunea din vară 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice cu termeni pozitivi (bₙ)ₙ≥₁, știind că b₁ = 2 și b₃ = 8.

b₂² = b₁·b₃ = 16 și termenii sunt pozitivi, deci b₂ = 4.
S₃ = b₁ + b₂ + b₃ = 2 + 4 + 8 = 14.
Răspuns
14
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Determinați numărul real m, știind că punctul A(m, 2m) aparține graficului funcției f:R→R, f(x) = 5x − 6.

A aparține graficului ⇔ f(m) = 2m, adică 5m − 6 = 2m.
3m = 6, deci m = 2.
Răspuns
m = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x² − 10x + 25 = 5.

Ridicând la pătrat: x² − 10x + 25 = 25, deci x² − 10x = 0, adică x(x − 10) = 0.
x = 0 sau x = 10; verificare: în ambele cazuri x² − 10x + 25 = 25 și √25 = 5, deci convin.
Răspuns
x = 0 sau x = 10
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) După o ieftinire cu 10%, urmată de o scumpire cu 10 lei, prețul unui obiect este 190 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Notăm cu x prețul inițial: x − (10100)·x + 10 = 190.
(910)·x = 180, deci x = 200 de lei.
Răspuns
200 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,4) și B(6,0). Determinați, în triunghiul AOB, ecuația medianei din vârful A.

Mijlocul lui OB: M(0 + 62, 0 + 02) = M(3, 0).
Panta lui AM: 4 − 04 − 3 = 4; ecuația: y − 0 = 4(x − 3), adică y = 4x − 12.
Răspuns
y = 4x − 12
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că 2sin 30° − sin 90° = 0.

sin 30° = 12 și sin 90° = 1.
2·(12) − 1 = 1 − 1 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = 2(xy + x + y) + 1.

1. (5p) Arătați că (−1)∘1 = −1.

(−1)∘1 = 2((−1)·1 + (−1) + 1) + 1 = 2·(−1) + 1 = −1.
Răspuns
−1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

x∘y = 2(xy + x + y) + 1 = 2(yx + y + x) + 1 = y∘x, pentru orice numere reale x și y.
Deci legea „∘” este comutativă.
Răspuns
x∘y = y∘x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Demonstrați că x∘y = 2(x + 1)(y + 1) − 1, pentru orice numere reale x și y.

x∘y = 2xy + 2x + 2y + 1 = 2xy + 2x + 2y + 2 − 1.
= 2x(y + 1) + 2(y + 1) − 1 = 2(x + 1)(y + 1) − 1.
Răspuns
x∘y = 2(x + 1)(y + 1) − 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Demonstrați că e = −12 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

x∘(−12) = 2(x + 1)(−12 + 1) − 1 = 2(x + 1)·(12) − 1 = x + 1 − 1 = x.
(−12)∘x = 2(−12 + 1)(x + 1) − 1 = x + 1 − 1 = x, pentru orice x real, deci e = −12 este elementul neutru.
Răspuns
e = −12
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale x pentru care (x − 1)∘(x + 2) = −5.

Cu forma de la 3: (x − 1)∘(x + 2) = 2(x − 1 + 1)(x + 2 + 1) − 1 = 2x(x + 3) − 1.
2x(x + 3) − 1 = −5 ⇔ 2x² + 6x + 4 = 0 ⇔ x² + 3x + 2 = 0.
Rădăcinile: x = −2 sau x = −1.
Răspuns
x = −2 sau x = −1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele naturale nenule n pentru care n∘(n − 1) ≤ 11.

n∘(n − 1) = 2(n + 1)(n − 1 + 1) − 1 = 2n(n + 1) − 1.
2n(n + 1) − 1 ≤ 11 ⇔ 2n² + 2n − 12 ≤ 0 ⇔ n² + n − 6 ≤ 0 ⇔ (n + 3)(n − 2) ≤ 0, deci n ∈ [−3, 2].
Cum n este natural nenul, n = 1 sau n = 2.
Răspuns
n ∈ {1, 2}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1120 și B = 3122.

1. (5p) Arătați că det A = −2.

det A = 1120 = 1·0 − 2·1 = −2.
Răspuns
det A = −2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Calculați det(A + B).

A + B = 4242.
det(A + B) = 4242 = 4·2 − 4·2 = 0.
Răspuns
det(A + B) = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că A·A = B.

A·A = 1·1+1·21·1+1·02·1+0·22·1+0·0 = 3122 = B.
Răspuns
A·A = B
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale a și b pentru care aA + bB = 5362.

aA + bB = aa2a0 + 3bb2b2b = a+3ba+b2a+2b2b.
Egalând: 2b = 2, deci b = 1; a + b = 3, deci a = 2. Verificare: a + 3b = 5 și 2a + 2b = 6.
Răspuns
a = 2, b = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Arătați că, dacă X ∈ M₂(R) astfel încât X + A = B, atunci matricea X este inversabilă.

X = B − A = 2002.
det X = 2002 = 4 ≠ 0, deci matricea X este inversabilă.
Răspuns
det X = 4 ≠ 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați valorile reale ale lui a pentru care det(A + B − aI₂) ≤ 0, unde I₂ = 1001.

A + B − aI₂ = 4−a242−a.
det(A + B − aI₂) = (4 − a)(2 − a) − 8 = 8 − 6a + a² − 8 = a² − 6a.
a² − 6a ≤ 0 ⇔ a(a − 6) ≤ 0 ⇔ a ∈ [0, 6].
Răspuns
a ∈ [0, 6]
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri