Rezolvare BAC 2017 Matematică M3 pedagogic, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea a II-a (toamnă) 2017 (Proba E.c) — sesiunea de toamnă 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √925 − 3355 = 0.

√925 = 35.
3355 = 35 (simplificând cu 11), deci 35 − 35 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor naturale nenule inecuația 3(x − 1) < 6.

Împărțind la 3: x − 1 < 2, deci x < 3.
Cum x este număr natural nenul, x = 1 sau x = 2.
Răspuns
x ∈ {1, 2}
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄(x² + 4x + 6) = log₄2.

Logaritmul e injectiv: x² + 4x + 6 = 2 ⇔ x² + 4x + 4 = 0 ⇔ (x + 2)² = 0.
x = −2; argumentul este 4 − 8 + 6 = 2 > 0, deci x = −2 convine.
Răspuns
x = −2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4 și 5.

Numărul e impar, deci cifra unităților e 1, 3 sau 5: 3 moduri.
Pentru fiecare alegere, cifra zecilor se poate alege în 5 moduri (cifrele se pot repeta).
Se pot forma 3·5 = 15 numere.
Răspuns
15 numere
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(1,1), N(4,1) și P(4,4). Arătați că triunghiul MNP este isoscel.

MN = √(4 − 1)² + (1 − 1)² = 3.
NP = √(4 − 4)² + (4 − 1)² = 3, deci MN = NP și triunghiul MNP este isoscel.
Răspuns
MN = NP = 3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 6 și BC = 12. Arătați că m(∢C) = 30°.

sin C = ABBC = 612 = 12.
Unghiul C este ascuțit (triunghiul e dreptunghic în A), deci m(∢C) = 30°.
Răspuns
m(∢C) = 30°
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy + 7(x + y) + 42.

1. (5p) Arătați că √2∗(−√2) = 40.

√2∗(−√2) = √2·(−√2) + 7(√2 + (−√2)) + 42 = −2 + 7·0 + 42.
= 40.
Răspuns
40
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că x∗y = (x + 7)(y + 7) − 7, pentru orice numere reale x și y.

x∗y = xy + 7x + 7y + 49 − 7.
= x(y + 7) + 7(y + 7) − 7 = (x + 7)(y + 7) − 7.
Răspuns
x∗y = (x + 7)(y + 7) − 7
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Verificați dacă e = −6 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗(−6) = (x + 7)(−6 + 7) − 7 = x + 7 − 7 = x.
(−6)∗x = (−6 + 7)(x + 7) − 7 = x, pentru orice număr real x, deci e = −6 este elementul neutru.
Răspuns
da, e = −6 este elementul neutru
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numărul real a pentru care 2∗a = 65.

2∗a = (2 + 7)(a + 7) − 7 = 9a + 63 − 7 = 9a + 56.
9a + 56 = 65 ⇔ 9a = 9, deci a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale x, x > 0 pentru care (log₂x)∗(log₂x) = 42.

Din 2.: (log₂x + 7)² − 7 = 42 ⇔ (log₂x + 7)² = 49.
log₂x + 7 = −7 sau log₂x + 7 = 7, adică log₂x = −14 sau log₂x = 0.
x = 2⁻¹⁴ sau x = 1, ambele pozitive, deci convin.
Răspuns
x ∈ {2⁻¹⁴, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele întregi m pentru care m∗(2 − m) ≥ 57.

m∗(2 − m) = (m + 7)(9 − m) − 7 = −m² + 2m + 63 − 7 = −m² + 2m + 56.
−m² + 2m + 56 ≥ 57 ⇔ −m² + 2m − 1 ≥ 0 ⇔ −(m − 1)² ≥ 0.
Cum (m − 1)² ≥ 0, inegalitatea are loc doar pentru (m − 1)² = 0, deci m = 1 (care e întreg).
Răspuns
m = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 6−5−11 și B = 1516.

1. (5p) Arătați că det A = 1.

det A = 6−5−11 = 6·1 − (−1)·(−5) = 6 − 5 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că A·B − B·A = O₂, unde O₂ = 0000.

A·B = 6−5−11·1516 = 1001 și B·A = 1516·6−5−11 = 1001.
A·B − B·A = 0000 = O₂.
Răspuns
A·B − B·A = O₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(A + xB) = 1 − 3x.

A + xB = 6+x−5+5x−1+x1+6x.
det(A + xB) = (6 + x)(1 + 6x) − (−5 + 5x)(−1 + x) = (6x² + 37x + 6) − (5x² − 10x + 5) = x² + 47x + 1.
x² + 47x + 1 = 1 − 3x ⇔ x² + 50x = 0 ⇔ x(x + 50) = 0, deci x = −50 sau x = 0.
Răspuns
x ∈ {−50, 0}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care A·xy = 7−1.

A·xy = 6x−5y−x+y, deci obținem sistemul 6x−5y=7−x+y=−1.
Din a doua ecuație y = x − 1; înlocuind: 6x − 5x + 5 = 7, deci x = 2 și y = 1.
Răspuns
x = 2, y = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Arătați că det(A + B) + det(A − B) = 2(det A + det B).

A + B = 7007 și A − B = 5−10−2−5.
det(A + B) + det(A − B) = 49 + (−25 − 20) = 49 − 45 = 4.
det B = 6 − 5 = 1, deci 2(det A + det B) = 2(1 + 1) = 4 = det(A + B) + det(A − B).
Răspuns
ambii membri sunt egali cu 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați matricea X ∈ M₂(R), astfel încât A·X − B = I₂, unde I₂ = 1001.

det A = 1 ≠ 0, deci A e inversabilă; din 2., A·B = I₂, deci A⁻¹ = B.
A·X = I₂ + B ⇔ X = A⁻¹·(I₂ + B) = 1516·2517.
X = 740847.
Răspuns
X = 740847
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri