Rezolvare BAC 2022 Matematică M3 pedagogic, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea a II-a (august) 2022 (Proba E.c) — august 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că log₂16 − log₂8 + log₂1 = 1.

log₂16 = 4, log₂8 = 3 și log₂1 = 0.
4 − 3 + 0 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 5x + 7. Determinați numărul real m pentru care punctul A(m, 2022) aparține graficului funcției f.

A aparține graficului dacă f(m) = 2022, adică 5m + 7 = 2022.
5m = 2015, deci m = 403.
Răspuns
m = 403
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √5x − 2 = √3.

Ridicând la pătrat: 5x − 2 = 3, deci x = 1.
Pentru x = 1, 5x − 2 = 3 ≥ 0, deci soluția convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) După două scumpiri succesive cu 20% prețul unui obiect este de 180 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Dacă x e prețul inițial, după prima scumpire prețul e x + (20100)x = 6x5.
După a doua: 6x5 + (20100)·6x5 = 36x25.
36x25 = 180, deci x = 125 de lei.
Răspuns
125 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(6, 7) și B(2, 5). Determinați ecuația dreptei AB.

Ecuația dreptei prin două puncte: x − 62 − 6 = y − 75 − 7, adică x − 6−4 = y − 7−2.
x − 6 = 2(y − 7), deci x − 2y + 8 = 0.
Răspuns
x − 2y + 8 = 0
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că (sin45° − sin30°)(sin45° + sin30°) = 14.

sin30° = 12 și sin45° = √22.
(√22 − 12)(√22 + 12) = (√22)² − (12)² = 24 − 14 = 14.
Răspuns
14
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = xy + 5(x + y) + 7.

1. (5p) Arătați că (−2) ∘ 2 = 3.

(−2) ∘ 2 = −2·2 + 5(−2 + 2) + 7 = −4 + 0 + 7 = 3.
Răspuns
(−2) ∘ 2 = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

x ∘ y = xy + 5(x + y) + 7 = yx + 5(y + x) + 7 = y ∘ x, pentru orice numere reale x și y.
Răspuns
x ∘ y = y ∘ x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Demonstrați că x ∘ y = (x + 5)(y + 5) − 18, pentru orice numere reale x și y.

x ∘ y = xy + 5x + 5y + 25 − 18.
xy + 5x + 5y + 25 = x(y + 5) + 5(y + 5) = (x + 5)(y + 5), deci x ∘ y = (x + 5)(y + 5) − 18.
Răspuns
x ∘ y = (x + 5)(y + 5) − 18
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∘ x = 7.

x ∘ x = x² + 10x + 7.
x² + 10x + 7 = 7 ⇔ x(x + 10) = 0, deci x = 0 sau x = −10.
Răspuns
x = 0 sau x = −10
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Demonstrați că ((−x) ∘ (−y)) + ((−x) ∘ y) + (x ∘ (−y)) + (x ∘ y) = 28, pentru orice numere reale x și y.

(−x) ∘ (−y) = xy − 5x − 5y + 7 și (−x) ∘ y = −xy − 5x + 5y + 7.
x ∘ (−y) = −xy + 5x − 5y + 7 și x ∘ y = xy + 5x + 5y + 7.
La adunare, termenii în xy, x și y se reduc, iar rămâne 4·7 = 28.
Răspuns
28
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați perechile (a, b) de numere întregi pentru care a ∘ b = −19.

Din 3: (a + 5)(b + 5) − 18 = −19, deci (a + 5)(b + 5) = −1.
a + 5 și b + 5 sunt întregi cu produsul −1: unul e 1 și celălalt −1.
(a, b) = (−4, −6) sau (a, b) = (−6, −4).
Răspuns
(−6, −4) și (−4, −6)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 55−4−4 și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det A = 0.

det A = 5·(−4) − 5·(−4) = −20 + 20 = 0.
Răspuns
det A = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că A·A = A.

A·A = 25−2025−20−20+16−20+16 = 55−4−4 = A.
Răspuns
A·A = A
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că X(−1) + X(1) = 2I₂.

X(−1) = I₂ − A și X(1) = I₂ + A, deci X(−1) + X(1) = I₂ − A + I₂ + A = 2I₂.
Răspuns
X(−1) + X(1) = 2I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Demonstrați că X(a)·X(−1) = X(−1), pentru orice număr real a.

X(a)·X(−1) = (I₂ + aA)(I₂ − A) = I₂ − A + aA − aA·A.
Din 2, A·A = A, deci aA − aA·A = 0 și X(a)·X(−1) = I₂ − A = X(−1).
Răspuns
X(a)·X(−1) = X(−1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea X(a) nu este inversabilă.

X(a) = 1+5a5a−4a1−4a.
det(X(a)) = (1 + 5a)(1 − 4a) − 5a·(−4a) = 1 + a − 20a² + 20a² = 1 + a.
X(a) nu e inversabilă ⇔ det(X(a)) = 0 ⇔ a = −1.
Răspuns
a = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați valorile reale ale lui a pentru care det(X(a²)) ≤ 10.

Din 5, det(X(a²)) = a² + 1.
a² + 1 ≤ 10 ⇔ a² ≤ 9, deci a∈[−3, 3].
Răspuns
a∈[−3, 3]
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri