Rezolvare BAC 2017 Matematică M3 pedagogic, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea I (vară) 2017 (Proba E.c) — sesiunea din vară 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (1 + (12)³ − 14) : 78 = 1.

(12)³ = 18, deci paranteza este 1 + 18 − 14 = 88 + 18 − 28 = 78.
78 : 78 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Determinați numărul real a pentru care f(1) + f(−1) = 2, unde f:R→R, f(x) = x + a.

f(1) = 1 + a și f(−1) = −1 + a.
f(1) + f(−1) = 2a = 2, deci a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₆(x² + 2) = log₆(3x).

Condiții: x² + 2 > 0 (mereu adevărat) și 3x > 0, adică x > 0.
Logaritmii egali dau argumente egale: x² + 2 = 3x ⇔ x² − 3x + 2 = 0.
Rădăcinile sunt x = 1 și x = 2; ambele sunt pozitive, deci convin.
Răspuns
x ∈ {1, 2}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Prețul unui obiect este 300 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte 10%.

După prima ieftinire: 300 − (10100)·300 = 300 − 30 = 270 de lei.
După a doua ieftinire: 270 − (10100)·270 = 270 − 27 = 243 de lei.
Răspuns
243 de lei
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele O(0,0), A(−3,2) și B(3,2). Determinați distanța de la punctul O la punctul M, unde M este mijlocul segmentului AB.

M(−3 + 32, 2 + 22) = M(0, 2).
OM = √0² + 2² = 2.
Răspuns
OM = 2
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați aria triunghiului ABC, știind că m(∢C) = 45° și AB = AC = 2√3.

AB = AC, deci triunghiul e isoscel cu baza BC: m(∢B) = m(∢C) = 45°.
m(∢A) = 180° − 45° − 45° = 90°, deci triunghiul e dreptunghic în A.
Aria = AB·AC2 = 2√3·2√32 = 122 = 6.
Răspuns
Aria = 6
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = x + y − 6.

1. (5p) Arătați că 6∗0 = 0.

6∗0 = 6 + 0 − 6 = 0.
Răspuns
6∗0 = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că legea de compoziție „∗” este comutativă.

x∗y = x + y − 6 = y + x − 6 = y∗x, pentru orice numere reale x și y.
Deci legea „∗” este comutativă.
Răspuns
x∗y = y∗x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Verificați dacă e = 6 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗6 = x + 6 − 6 = x, pentru orice x real.
6∗x = 6 + x − 6 = x, pentru orice x real.
Deci x∗6 = 6∗x = x: e = 6 este elementul neutru.
Răspuns
Da, e = 6 este element neutru
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care x∗x∗x = x.

x∗x = 2x − 6, iar x∗x∗x = (2x − 6)∗x = 2x − 6 + x − 6 = 3x − 12.
3x − 12 = x ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6.
Răspuns
x = 6
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Arătați că 1∗2∗3∗4∗5∗6∗7∗8∗9∗10 = 1.

Fiecare aplicare a legii adună termenii și scade 6. Cu 10 termeni, legea se aplică de 9 ori.
Deci 1∗2∗…∗10 = (1 + 2 + … + 10) − 9·6 = 55 − 54 = 1.
(Sau grupat: 1∗2 = −3, 3∗4 = 1, 5∗6 = 5, 7∗8 = 9, 9∗10 = 13, iar (−3)∗1∗5∗9∗13 = 25 − 24 = 1.)
Răspuns
1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele naturale pare nenule n pentru care n∗n∗…∗n < 6, unde n apare de 6 ori.

Cu 6 termeni egali cu n, legea se aplică de 5 ori: n∗n∗…∗n = 6n − 5·6 = 6n − 30.
6n − 30 < 6 ⇔ 6n < 36 ⇔ n < 6.
n natural, par și nenul: n = 2 sau n = 4.
Răspuns
n ∈ {2, 4}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = a243, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det(A(1)) = −5.

A(1) = 1243, deci det(A(1)) = 1243 = 1·3 − 4·2 = 3 − 8 = −5.
Răspuns
det(A(1)) = −5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că A(−a) + A(a) = 2A(0), pentru orice număr real a.

A(−a) + A(a) = −a243 + a243 = 0486.
= 2·0243 = 2A(0), pentru orice a real.
Răspuns
A(−a) + A(a) = 2A(0)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că inversa matricei A(3) este matricea 3−2−43.

A(3)·3−2−43 = 3243·3−2−43 = 9−8−6+612−12−8+9 = I₂.
3−2−43·A(3) = 9−86−6−12+12−8+9 = I₂.
Produsul în ambele ordini este I₂, deci matricea dată este inversa lui A(3).
Răspuns
A(3)⁻¹ = 3−2−43
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea A(a) este inversabilă.

det(A(a)) = a243 = 3a − 8.
A(a) e inversabilă ⇔ det(A(a)) ≠ 0 ⇔ 3a − 8 ≠ 0 ⇔ a ≠ 83.
Răspuns
a ∈ R \ {83}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale a pentru care A(a²) − 4A(a) + 3A(1) = O₂, unde O₂ = 0000.

A(a²) − 4A(a) + 3A(1) = a²−4a+32−8+64−16+123−12+9 = a²−4a+3000.
Egalitatea cu O₂ ⇔ a² − 4a + 3 = 0 ⇔ (a − 1)(a − 3) = 0.
a = 1 sau a = 3.
Răspuns
a ∈ {1, 3}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(A(a) + A(2)) = a² − 15.

A(a) + A(2) = a+2486, deci det(A(a) + A(2)) = 6(a + 2) − 32 = 6a − 20.
6a − 20 = a² − 15 ⇔ a² − 6a + 5 = 0 ⇔ (a − 1)(a − 5) = 0.
a = 1 sau a = 5.
Răspuns
a ∈ {1, 5}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri