Rezolvare BAC 2024 Matematică M3 pedagogic, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din simularea 2024 (Simularea națională a clasei a XII-a — 05.03.2024): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră progresia aritmetică (aₙ) cu a₁ = 6 și a₂ = 8. Calculați a₃.

Rația: r = a₂ − a₁ = 2.
a₃ = a₂ + r = 10.
Răspuns
a₃ = 10
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 4x − 9. Determinați numărul real m pentru care punctul A(m, 3) aparține graficului funcției f.

A aparține graficului ⇔ f(m) = 3 ⇔ 4m − 9 = 3.
m = 3.
Răspuns
m = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4ˣ = 2³ˣ⁻².

4ˣ = 2²ˣ, deci 2²ˣ = 2³ˣ⁻² și 2x = 3x − 2.
x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) La o competiție sportivă 40% dintre concurenți sunt fete. Determinați numărul total de concurenți, știind că la competiție au participat 80 de fete.

Dacă x e numărul total de concurenți: (40100)·x = 80.
x = 200 de concurenți.
Răspuns
200
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 1), B(1, 3) și C(a, a), unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care segmentele AB și OC au același mijloc.

Mijlocul lui AB este M(2, 2).
Mijlocul lui OC este (a2, a2), deci a2 = 2 și a = 4.
Răspuns
a = 4
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 8√3 și BC = 16. Demonstrați că triunghiul AMC este echilateral, unde punctul M este mijlocul segmentului BC.

AC = √BC² − AB² = √256 − 192 = 8.
M e mijlocul ipotenuzei, deci CM = BC2 = 8, iar mediana din unghiul drept e tot jumătate din ipotenuză: AM = 8.
AC = CM = AM = 8, deci triunghiul AMC e echilateral.
Răspuns
AC = CM = AM = 8
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = 3(xy − 2x − 2y) + 14.

1. (5p) Arătați că 3 ∘ 3 = 1 ∘ 1.

3 ∘ 3 = 3(9 − 6 − 6) + 14 = −9 + 14 = 5.
1 ∘ 1 = 3(1 − 2 − 2) + 14 = −9 + 14 = 5, deci 3 ∘ 3 = 1 ∘ 1.
Răspuns
3 ∘ 3 = 1 ∘ 1 = 5
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că x ∘ 2 = 2, pentru orice număr real x.

x ∘ 2 = 3(2x − 2x − 4) + 14 = −12 + 14 = 2, pentru orice x real.
Răspuns
x ∘ 2 = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că e = 73 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

x ∘ (73) = 3(7x3 − 2x − 143) + 14 = 7x − 6x − 14 + 14 = x, pentru orice x real.
(73) ∘ x = 3(7x3 − 143 − 2x) + 14 = x, pentru orice x real, deci e = 73 e elementul neutru.
Răspuns
e = 73
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∘ x = 5.

x ∘ x = 3x² − 12x + 14.
3x² − 12x + 14 = 5 ⇔ x² − 4x + 3 = 0, deci x = 1 sau x = 3.
Răspuns
x = 1 sau x = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Arătați că x ∘ y ≥ 2, pentru orice numere reale x ≥ 2 și y ≥ 2.

x ∘ y = 3(xy − 2x − 2y + 4) + 2 = 3(x − 2)(y − 2) + 2.
Pentru x ≥ 2 și y ≥ 2: (x − 2)(y − 2) ≥ 0, deci x ∘ y ≥ 2.
Răspuns
x ∘ y = 3(x − 2)(y − 2) + 2 ≥ 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Demonstrați că, dacă m și n sunt numere naturale nenule și m ∘ n = 8, atunci m + n = 7.

Din 5: m ∘ n = 8 ⇔ 3(m − 2)(n − 2) + 2 = 8 ⇔ (m − 2)(n − 2) = 2.
m − 2 ≥ −1 și n − 2 ≥ −1; varianta −1 și −2 ar da unul dintre numere 0, care nu e nenul, deci factorii sunt 1 și 2.
m = 3 și n = 4, sau m = 4 și n = 3: în ambele cazuri m + n = 7.
Răspuns
m + n = 7
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 36−1−2 și X(a) = I₂ + aA, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det A = 0.

det A = 3·(−2) − 6·(−1) = −6 + 6 = 0.
Răspuns
det A = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că A·A = A.

A·A = 9−618−12−3+2−6+4 = 36−1−2 = A.
Răspuns
A·A = A
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(X(a)) = 2a².

X(a) = 1+3a6a−a1−2a, deci det(X(a)) = (1 + 3a)(1 − 2a) + 6a² = 1 + a.
1 + a = 2a² ⇔ 2a² − a − 1 = 0, deci a = −12 sau a = 1.
Răspuns
a = −12 sau a = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Demonstrați că A·X(a) = (a + 1)A, pentru orice număr real a.

A·X(a) = A·(I₂ + aA) = A + aA·A = A + aA = (a + 1)A (din 2).
Răspuns
A·X(a) = (a + 1)A
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Demonstrați că X(m)·X(n) = X(m + n + mn), pentru orice numere reale m și n.

X(m)·X(n) = (I₂ + mA)(I₂ + nA) = I₂ + mA + nA + mnA·A.
Cum A·A = A: X(m)·X(n) = I₂ + (m + n + mn)A = X(m + n + mn).
Răspuns
X(m)·X(n) = X(m + n + mn)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Demonstrați că, dacă a și b sunt numere reale distincte pentru care X(a)·X(a) = X(b)·X(b), atunci a + b + 2 = 0.

Din 5: X(a)·X(a) = X(2a + a²) și X(b)·X(b) = X(2b + b²).
A e nenulă, deci X(2a + a²) = X(2b + b²) ⇔ 2a + a² = 2b + b² ⇔ (a − b)(a + b + 2) = 0.
a ≠ b, deci a + b + 2 = 0.
Răspuns
a + b + 2 = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri