Rezolvare BAC 2024 Matematică M2 științe ale naturii, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din simularea 2024 (Simularea națională a clasei a XII-a — 05.03.2024): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe z₁ = 3 − i și z₂ = 1 + i. Arătați că z₁ + iz₂ = 2.

iz₂ = i(1 + i) = i + i² = i − 1.
z₁ + iz₂ = 3 − i + i − 1 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 5 − x și g:R→R, g(x) = x + 2. Determinați numărul real a pentru care f(a) = g(a + 1).

f(a) = 5 − a și g(a + 1) = a + 3.
5 − a = a + 3, de unde a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(4x − x²) = 1.

4x − x² = 3, adică x² − 4x + 3 = 0, deci x = 1 sau x = 3.
În ambele cazuri 4x − x² = 3 > 0, deci soluțiile convin.
Răspuns
x = 1 sau x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale impare, de două cifre, cu cifra zecilor număr par, se pot forma cu elementele mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Cifra unităților e impară: 1, 3, 5 sau 7, adică 4 moduri.
Cifra zecilor e pară: 2, 4 sau 6, adică 3 moduri, deci 4·3 = 12 numere.
Răspuns
12
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 3), B(2, 0) și C. Știind că punctul B este mijlocul segmentului OC, determinați distanța dintre punctele A și C.

B e mijlocul lui OC, deci C(4, 0).
AC = √4² + 3² = 5.
Răspuns
AC = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu B = π6 și mediana AM = 4. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 8√3.

Mediana din unghiul drept e jumătate din ipotenuză: BC = 2AM = 8.
Cateta opusă unghiului de 30° e jumătate din ipotenuză: AC = 4, iar AB = √64 − 16 = 4√3.
Aria = AB·AC2 = 4√3·42 = 8√3.
Răspuns
Aria = 8√3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = x3x−31−x3x−2, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 3.

A(0) = 0−31−2.
det(A(0)) = 0·(−2) − (−3)·1 = 3.
Răspuns
det(A(0)) = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real m pentru care A(2)·A(0) + A(5) = mI₂.

A(2) = 23−14 și A(5) = 512−413.
A(2)·A(0) + A(5) = 3−124−5 + 512−413 = 8008 = 8I₂.
Deci m = 8.
Răspuns
m = 8
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(A(x) − A(0)·A(1 − x)) = 3.

A(1 − x) = 1−x−3xx1−3x, deci A(0)·A(1 − x) = −3x9x−31−3x3x−2.
A(x) − A(0)·A(1 − x) = 4x−6x2x0, cu determinantul 0 + 12x² = 12x².
12x² = 3 ⇔ x² = 14, deci x = −12 sau x = 12.
Răspuns
x = −12 sau x = 12
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = (0, +∞) se definește legea de compoziție x ∘ y = x + y + 1 − √xy + 1.

a) (5p) Arătați că 1 ∘ 8 = 7.

1 ∘ 8 = 1 + 8 + 1 − √8 + 1 = 10 − 3 = 7.
Răspuns
1 ∘ 8 = 7
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați x∈M pentru care x ∘ (3x) = x.

x ∘ (3x) = x + 3x + 1 − √3 + 1 = x + 3x − 1.
x + 3x − 1 = x ⇔ 3x = 1, deci x = 3, care convine.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele naturale nenule n pentru care (n ∘ (n + 2)) ∘ (n + 4) > n²2.

n ∘ (n + 2) = 2n + 3 − √n² + 2n + 1 = 2n + 3 − (n + 1) = n + 2.
(n + 2) ∘ (n + 4) = 2n + 7 − √n² + 6n + 9 = 2n + 7 − (n + 3) = n + 4.
n + 4 > n²2 ⇔ n² − 2n − 8 < 0 ⇔ (n − 4)(n + 2) < 0, deci n < 4.
Cu n natural nenul: n = 1, n = 2 sau n = 3.
Răspuns
n∈{1, 2, 3}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x³ + 2x²)eˣ.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x(x² + 5x + 4)eˣ, x∈R.

f'(x) = (3x² + 4x)eˣ + (x³ + 2x²)eˣ = (x³ + 5x² + 4x)eˣ.
f'(x) = x(x² + 5x + 4)eˣ.
Răspuns
f'(x) = x(x² + 5x + 4)eˣ
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = 0 și f'(0) = 0.
Tangenta: y − f(0) = f'(0)(x − 0), adică y = 0.
Răspuns
y = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că −32eˣ⁺⁴ ≤ x²(x + 2) ≤ 1eˣ⁺¹, pentru orice x∈[−4, 0].

x² + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4), deci f'(x) = 0 ⇔ x∈{−4, −1, 0}.
Pe [−4, −1], f'(x) ≥ 0: f crescătoare; pe [−1, 0], f'(x) ≤ 0: f descrescătoare.
f(−4) = −32e⁴, f(−1) = 1e și f(0) = 0, deci pe [−4, 0]: −32e⁴ ≤ f(x) ≤ 1e.
f(x) = x²(x + 2)eˣ; împărțind la eˣ > 0: −32eˣ⁺⁴ ≤ x²(x + 2) ≤ 1eˣ⁺¹.
Răspuns
−32e⁴ ≤ f(x) ≤ 1e pe [−4, 0]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−1, +∞)→R, f(x) = 3x² − 2x + 1.