Rezolvare BAC 2021 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea I, rezervă

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea I, rezervă 2021 (Varianta de rezervă a sesiunii din vară 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul b₄ al progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥₁, știind că b₅ = 6 și b₆ = 18.

Într-o progresie geometrică, b₅² = b₄·b₆, deci 36 = 18·b₄.
b₄ = 3618 = 2. (Altfel: rația q = b₆b₅ = 3, deci b₄ = b₅q = 2.)
Răspuns
b₄ = 2
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + x − 4. Determinați numerele reale m, știind că f(m) = m.

f(m) = m ⇔ m² + m − 4 = m ⇔ m² − 4 = 0.
m² = 4, deci m = −2 sau m = 2.
Răspuns
m = −2 sau m = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 100·10²ˣ = 10³ˣ.

100 = 10², deci 100·10²ˣ = 10²ˣ⁺² și ecuația devine 10²ˣ⁺² = 10³ˣ.
Exponenții sunt egali: 2x + 2 = 3x, deci x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea {0, 1, 2, 3, 4}.

Cifra unităților trebuie să fie pară: 0, 2 sau 4, deci 3 moduri.
Cifra zecilor trebuie să fie nenulă: 1, 2, 3 sau 4, deci 4 moduri (cifrele se pot repeta).
Se pot forma 3·4 = 12 numere.
Răspuns
12 numere
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−4,0), B(4,0) și C(0,4). Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.

Calculăm distanțele de la originea O(0,0): OA = 4, OB = 4, OC = 4.
O este egal depărtat de cele trei vârfuri, deci este centrul cercului circumscris triunghiului ABC.
Răspuns
O(0,0)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin2x = 1, știind că tg x = 1 și x ∈ (0, π2).

Pe intervalul (0, π2), tg x = 1 doar pentru x = π4.
sin2x = sin(2π4) = sin(π2) = 1.
Răspuns
sin2x = 1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = x+23−1x−2, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = −1.

A(0) = 23−1−2, deci det(A(0)) = 23−1−2 = 2·(−2) − (−1)·3 = −4 + 3 = −1.
Răspuns
det(A(0)) = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care matricea A(x) este inversabilă.

det(A(x)) = x+23−1x−2 = (x + 2)(x − 2) + 3 = x² − 1.
A(x) e inversabilă ⇔ det(A(x)) ≠ 0 ⇔ x² ≠ 1 ⇔ x ≠ −1 și x ≠ 1.
Răspuns
x ∈ R \ {−1, 1}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Se consideră numerele reale a, b și c, astfel încât A(a)·A(b) = A(c). Demonstrați că a² + b² + 2c = 3.

A(a)·A(b) = ab+2a+2b+13a+3b−a−bab−2a−2b+1.
Egalând cu A(c): din elementul de pe linia 1, coloana 2, 3a + 3b = 3, deci a + b = 1; din primul element, ab + 2(a + b) + 1 = c + 2, deci c = ab + 1.
a² + b² + 2c = a² + b² + 2ab + 2 = (a + b)² + 2 = 1 + 2 = 3.
Răspuns
a² + b² + 2c = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = [−1, 1] se definește legea de compoziție x∘y = x√1 − y² + y√1 − x².

a) (5p) Arătați că 0∘1 = 1.

0∘1 = 0·√1 − 1 + 1·√1 − 0 = 0 + 1 = 1.
Răspuns
0∘1 = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați x ∈ M pentru care x∘x = 0.

x∘x = x√1 − x² + x√1 − x² = 2x√1 − x².
2x√1 − x² = 0 ⇔ x = 0 sau 1 − x² = 0, deci x = −1, x = 0 sau x = 1, toate din M.
Răspuns
x ∈ {−1, 0, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că x∘√1 − x² = 1, pentru orice x ∈ [0, 1].

x∘√1 − x² = x·√1 − (1 − x²) + √1 − x²·√1 − x² = x·√x² + 1 − x² = x|x| + 1 − x².
Pentru x ∈ [0, 1], |x| = x, deci x∘√1 − x² = x² + 1 − x² = 1.
Răspuns
x∘√1 − x² = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = eˣ + x·ln x − 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ + ln x + 1, x ∈ (0,+∞).

f'(x) = (eˣ)' + x'·ln x + x·(ln x)' − 1' = eˣ + ln x + x·(1x).
f'(x) = eˣ + ln x + 1.
Răspuns
f'(x) = eˣ + ln x + 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = e + 0 − 1 = e − 1 și f'(1) = e + 0 + 1 = e + 1.
Tangenta: y − f(1) = f'(1)(x − 1), adică y − e + 1 = (e + 1)(x − 1), deci y = (e + 1)x − 2.
Răspuns
y = (e + 1)x − 2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că eˣ + x·ln x ≥ √e + (12)·ln(12), pentru orice x ∈ [12, +∞).

Pentru x ≥ 12, ln x ≥ ln(12), deci f'(x) = eˣ + ln x + 1 ≥ eˣ + ln(12) + 1 = eˣ + ln(e2) > eˣ > 0, fiindcă e2 > 1.
Deci f este crescătoare pe [12, +∞) și f(x) ≥ f(12) pentru orice x ≥ 12.
f(12) = √e + (12)·ln(12) − 1, deci eˣ + x·ln x − 1 ≥ √e + (12)·ln(12) − 1, adică eˣ + x·ln x ≥ √e + (12)·ln(12).
Răspuns
f crescătoare pe [12, +∞), deci f(x) ≥ f(12)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √x² + 2 + x√(x² + 2).