Rezolvare BAC 2026 Matematică M2 științe ale naturii, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din simularea 2026 (Simularea națională a clasei a XII-a — 24.03.2026): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₄ al progresiei aritmetice (aₙ), în care a₁ = 2 și a₃ = 14.

a₃ − a₁ = 2r, deci 2r = 12 și rația r = 6.
a₄ = a₃ + r = 14 + 6 = 20.
Răspuns
a₄ = 20
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = ax + 3, unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care f(0) + (f∘f)(0) = 0.

f(0) = 3, iar (f∘f)(0) = f(3) = 3a + 3.
3 + 3a + 3 = 0, de unde a = −2.
Răspuns
a = −2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5ˣ − 4·5ˣ⁻² = 105.

5ˣ = 25·5ˣ⁻², deci ecuația devine 25·5ˣ⁻² − 4·5ˣ⁻² = 21·5ˣ⁻² = 105.
5ˣ⁻² = 5, deci x − 2 = 1 și x = 3.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A = {1, 2, 3, 9}.

Numărul e impar, deci cifra unităților e 1, 3 sau 9: 3 moduri.
Cifra zecilor: oricare din cele 3 cifre rămase; cifra sutelor: oricare din cele 2 rămase.
În total 3·3·2 = 18 numere.
Răspuns
18
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 0) și B(5, 4) și dreapta d de ecuație 2x + ay = 0, unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care mijlocul segmentului AB aparține dreptei d.

Mijlocul segmentului AB este M(3, 2).
M∈d ⇔ 2·3 + a·2 = 0, de unde a = −3.
Răspuns
a = −3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 12 și C = π6. Punctul M aparține segmentului AC astfel încât 3AM = AC. Arătați că BM = 4√3.

Cateta opusă unghiului de 30° e jumătate din ipotenuză: AB = 6; apoi AC = √144 − 36 = 6√3.
AM = AC3 = 2√3.
Triunghiul ABM e dreptunghic în A: BM² = AM² + AB² = 12 + 36 = 48, deci BM = 4√3.
Răspuns
BM = 4√3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 1a−a1−a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 1.

A(1) = 11−10.
det(A(1)) = 1·0 − 1·(−1) = 1.
Răspuns
det(A(1)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(a + b) − A(a)·A(b) = abA(1), pentru orice numere reale a și b.

A(a)·A(b) = 1−aba+b−ab−a−b+ab1−a−b, iar A(a + b) = 1a+b−a−b1−a−b.
A(a + b) − A(a)·A(b) = abab−ab0 = ab·11−10 = abA(1).
Răspuns
A(a + b) − A(a)·A(b) = abA(1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale a pentru care 2A(2a) − A(a)·A(a) − A(1)·A(2a − 1) = 2A(1).

Din b), cu b = a: A(2a) − A(a)·A(a) = a²A(1).
Din b), cu 1 și 2a − 1 (suma lor e 2a): A(2a) − A(1)·A(2a − 1) = (2a − 1)A(1).
Adunând: 2A(2a) − A(a)·A(a) − A(1)·A(2a − 1) = (a² + 2a − 1)A(1).
(a² + 2a − 1)A(1) = 2A(1), cu A(1) nenulă, deci a² + 2a − 3 = 0: a = −3 sau a = 1.
Răspuns
a = −3 sau a = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∘ y = (16)(x − 5)(y − 5) + 5, cu elementul neutru e = 11.

a) (5p) Arătați că 7 ∘ 8 = 6.

7 ∘ 8 = (16)(7 − 5)(8 − 5) + 5 = (16)·6 + 5 = 6.
Răspuns
7 ∘ 8 = 6
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∘ (6x − 1) = 10.

x ∘ (6x − 1) = (16)(x − 5)(6x − 6) + 5 = (x − 5)(x − 1) + 5 = x² − 6x + 10.
x² − 6x + 10 = 10 ⇔ x(x − 6) = 0, deci x = 0 sau x = 6.
Răspuns
x = 0 sau x = 6
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele naturale n, n ≠ 5, ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „∘” sunt numere naturale pare.

n' e simetricul lui n dacă n ∘ n' = 11: (16)(n − 5)(n' − 5) + 5 = 11, adică (n − 5)(n' − 5) = 36.
n' e par, deci n' − 5 e impar; cum n' ≥ 0, n' − 5 ≥ −5. Divizorii impari ai lui 36 din acest interval: 1, 3, 9, −1, −3.
n' − 5 = 1, 3, 9 dau n − 5 = 36, 12, 4, adică n = 41, 17, 9 (cu n' = 6, 8, 14); n' − 5 = −1, −3 dau n negativ.
Deci n = 9, n = 17 sau n = 41.
Răspuns
n∈{9, 17, 41}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 1x − 1 + 4ln(x + 3).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (x − 1)(4x + 3)x²(x + 3), x∈(0, +∞).

f'(x) = −1x² + 4x + 3 = 4x² − x − 3x²(x + 3).
4x² − x − 3 = (x − 1)(4x + 3), deci f'(x) = (x − 1)(4x + 3)x²(x + 3).
Răspuns
f'(x) = (x − 1)(4x + 3)x²(x + 3)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→1 4ln(x + 3) − f(x)ln x = 1.

4ln(x + 3) − f(x) = 1 − 1x, deci limita este limx→1 1 − 1/xln x, de forma 00.
Regula lui l'Hôpital: limx→1 1/x²1/x = limx→1 1x = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 1x² − 1x ≥ 4ln(x + 3x² + 3), pentru orice x∈(0, 1].

f'(x) = 0 ⇔ x = 1, iar pe (0, 1], f'(x) ≤ 0: f e descrescătoare pe (0, 1].
Pentru x∈(0, 1], x² ≤ x și ambele sunt în (0, 1], deci f(x²) ≥ f(x).
f(x²) − f(x) = 1x² − 1x + 4ln(x² + 3) − 4ln(x + 3) ≥ 0, adică 1x² − 1x ≥ 4ln(x + 3x² + 3).
Răspuns
f(x²) ≥ f(x) pe (0, 1]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² + 4x)e⁻ˣ.