Rezolvare BAC 2024 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea specială 2024 (Proba E.c) — 22.05.2024): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 6 − 2√5 + √5·(2 − √5) = 1.

√5·(2 − √5) = 2√5 − 5.
6 − 2√5 + 2√5 − 5 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x − 3. Determinați numărul real a pentru care f(a) + f(1) = 0.

f(a) = 2a − 3 și f(1) = −1.
2a − 3 − 1 = 0, deci a = 2.
Răspuns
a = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 10ˣ⁻¹ = 10⁻²ˣ·10².

10⁻²ˣ·10² = 10⁻²ˣ⁺², deci x − 1 = −2x + 2.
3x = 3, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte dintre numerele naturale de două cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, au ambele cifre pare.

Cifrele pare din A sunt 2, 4, 6. Cifra zecilor: 3 moduri.
Cifra unităților: una dintre cele 2 cifre pare rămase, deci 3·2 = 6 numere.
Răspuns
6
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4, 6) și B(6, 0). Determinați distanța dintre punctele B și M, unde punctul M este mijlocul segmentului OA.

M, mijlocul lui OA, este M(2, 3).
BM = √(6 − 2)² + (0 − 3)² = √16 + 9 = 5.
Răspuns
BM = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6 și aria egală cu 24. Arătați că AB = 8.

Aria = AB·AC2, deci 24 = AB·62.
AB = 24·26 = 8.
Răspuns
AB = 8
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1112 și B(x) = x+1x+42x4x−3, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = 1.

det A = 1·2 − 1·1 = 1.
Răspuns
det A = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care det(B(x) − xA) = x.

B(x) − xA = 14x2x−3, deci det(B(x) − xA) = 2x − 3 − 4x = −2x − 3.
−2x − 3 = x, deci x = −1.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care B(x) + B(x + 2) = 2A·A·A.

A·A = 2335, deci 2A·A·A = 2·2335·A = 10161626.
B(x) + B(x + 2) = 2x+42x+104x+48x+2.
Din 2x + 4 = 10: x = 3, care verifică toate elementele.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ + mX² − 2X − 4, unde m este număr real.

a) (5p) Pentru m = 6, arătați că f(1) = 1.

f = X³ + 6X² − 2X − 4, deci f(1) = 1 + 6 − 2 − 4 = 1.
Răspuns
f(1) = 1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real m pentru care (x₁x₂x₃)² = x₁ + x₂ + x₃ + x₁x₂x₃, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Din relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = −m și x₁x₂x₃ = 4.
16 = −m + 4, deci m = −12.
Răspuns
m = −12
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați rădăcinile polinomului f, știind că restul împărțirii lui f la polinomul X − 2 este egal cu 8.

Restul e f(2) = 8 + 4m − 4 − 4 = 4m = 8, deci m = 2.
f = X³ + 2X² − 2X − 4 = X²(X + 2) − 2(X + 2) = (X + 2)(X² − 2).
Rădăcinile: −2, −√2 și √2.
Răspuns
−2, −√2, √2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 3 − xx² + ln x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x² + x − 6x³, x∈(0, +∞).

(3 − xx²)' = −x² − 2x(3 − x)x⁴ = x − 6x³.
f'(x) = x − 6x³ + 1x = x − 6 + x²x³ = x² + x − 6x³.
Răspuns
f'(x) = x² + x − 6x³
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→+∞ (f(x) − ln x) = 0.

f(x) − ln x = 3 − xx² = 3x² − 1x, care tinde la 0 pentru x → +∞.
Răspuns
0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că 4f(x) − 1 ≥ ln16, pentru orice x∈(0, +∞).

x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2): f e descrescătoare pe (0, 2] și crescătoare pe [2, +∞), deci f(x) ≥ f(2).
f(2) = 14 + ln2, deci 4f(x) − 1 ≥ 4(14 + ln2) − 1 = 4ln2 = ln16.
Răspuns
4f(x) − 1 ≥ ln16
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−3, +∞)→R, f(x) = 3x + 1√(x + 3).