Rezolvare BAC 2025 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea specială 2025 (Proba E.c) — 23.05.2025): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 2·(1,1 + 0,3) − 1,8 = 1.

1,1 + 0,3 = 1,4, deci 2·1,4 = 2,8.
2,8 − 1,8 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 4. Determinați numărul real a pentru care f(a) = a·f(0).

f(0) = 4 și f(a) = 2a + 4.
2a + 4 = 4a, de unde a = 2.
Răspuns
a = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √2 − x = √x² + x − 1.

Ridicând la pătrat: 2 − x = x² + x − 1, adică x² + 2x − 3 = 0, deci x = −3 sau x = 1.
Verificare: pentru x = −3 ambii radicali sunt √5, pentru x = 1 ambii sunt √1; ambele convin.
Răspuns
x = −3 sau x = 1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea n³ > 10.

Numerele naturale de o cifră sunt 0, 1, …, 9: 10 cazuri posibile.
n³ > 10 ⇔ n ≥ 3 (2³ = 8, 3³ = 27): 7 cazuri favorabile.
p = 710.
Răspuns
p = 710
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 4), B(2, 0) și C(8, 2). Determinați distanța dintre punctul A și mijlocul segmentului BC.

Mijlocul lui BC este M(5, 1).
AM = √(5 − 1)² + (1 − 4)² = √16 + 9 = 5.
Răspuns
AM = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 10 și sin B = 25. Arătați că AC = 4.

sin B = ACBC, deci 25 = AC10.
AC = 2·105 = 4.
Răspuns
AC = 4
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2+2xx−x2−2x, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 1.

A(1) = 41−10.
det(A(1)) = 4·0 − 1·(−1) = 1.
Răspuns
det(A(1)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(2)·A(1) + 3A(−2) = 16I₂.

A(2) = 62−2−2, deci A(2)·A(1) = 226−6−2.
A(−2) = −2−226, deci A(2)·A(1) + 3A(−2) = 160016 = 16I₂.
Răspuns
A(2)·A(1) + 3A(−2) = 16I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul întreg nenul m pentru care matricea B(m) = (1m)A(−m) este inversa matricei A(m).

A(m)·A(−m) = 4−3m²004−3m² = (4 − 3m²)I₂ (și A(−m)·A(m) la fel).
B(m) e inversa lui A(m) ⇔ A(m)·B(m) = I₂ ⇔ (4 − 3m²m)·I₂ = I₂ ⇔ 3m² + m − 4 = 0.
m = 1 sau m = −43; cum m e întreg, m = 1.
Răspuns
m = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ − 3X² − 3X + a, unde a este număr real.

a) (5p) Pentru a = 1, arătați că f(−1) = 0.

f(−1) = −1 − 3 + 3 + 1 = 0.
Răspuns
f(−1) = 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real a pentru care 3x₁ + 3x₂ + 3x₃ − x₁x₂x₃ = 3, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Din relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = 3 și x₁x₂x₃ = −a.
3·3 − (−a) = 9 + a = 3, deci a = −6.
Răspuns
a = −6
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru a = 9, determinați rădăcinile polinomului f.

f = X³ − 3X² − 3X + 9 = X²(X − 3) − 3(X − 3) = (X − 3)(X² − 3).
Rădăcinile: 3, −√3 și √3.
Răspuns
3, −√3, √3
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 8eˣ.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (x + 2)(4 − x)eˣ, x∈R.

f'(x) = 2xeˣ − (x² − 8)eˣ(eˣ)² = −x² + 2x + 8eˣ.
−x² + 2x + 8 = (x + 2)(4 − x).
Răspuns
f'(x) = (x + 2)(4 − x)eˣ
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = −8 și f'(0) = 8.
Tangenta: y + 8 = 8(x − 0), adică y = 8x − 8.
Răspuns
y = 8x − 8
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că −4e² ≤ f(x) ≤ e³, pentru orice x∈[−3, 4].

f'(x) = 0 ⇔ x = −2 sau x = 4; pe [−3, −2], f'(x) ≤ 0 (f descrescătoare), iar pe [−2, 4], f'(x) ≥ 0 (f crescătoare).
f(−3) = e³, f(−2) = −4e² și f(4) = 8e⁴ < e³.
Pe [−3, 4] minimul e f(−2) = −4e², iar maximul e f(−3) = e³, deci −4e² ≤ f(x) ≤ e³.
Răspuns
−4e² ≤ f(x) ≤ e³
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 6x + 2ln xx.