Rezolvare BAC 2026 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea specială 2026 (Proba E.c) — 19.05.2026): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 2√2(3 + √2) + 3(1 − 2√2) = 7.

2√2(3 + √2) = 6√2 + 4 și 3(1 − 2√2) = 3 − 6√2.
6√2 + 4 + 3 − 6√2 = 7.
Răspuns
7
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x − 10. Determinați numărul real a pentru care f(2a) = f(a) − 3.

f(2a) = 6a − 10 și f(a) = 3a − 10.
6a − 10 = 3a − 13, deci 3a = −3 și a = −1.
Răspuns
a = −1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √4x² − 6x + 5 = x√3.

Membrul drept trebuie să fie nenegativ: x ≥ 0. Ridicând la pătrat: 4x² − 6x + 5 = 3x², adică x² − 6x + 5 = 0.
x = 1 sau x = 5, care convin.
Răspuns
x = 1 sau x = 5
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor cel mult egală cu 3.

Numerele naturale de două cifre sunt 90: 90 de cazuri posibile.
Suma cifrelor cel mult 3: 10, 11, 12, 20, 21, 30, adică 6 cazuri favorabile.
p = 690 = 115.
Răspuns
p = 115
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 3), B(1, 5) și C(6, 0). Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic în A.

Panta lui AB: 5 − 31 = 2; panta lui AC: 0 − 36 = −12.
Produsul pantelor e −1, deci AB ⊥ AC: triunghiul e dreptunghic în A.
Răspuns
AB ⊥ AC
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră expresia E(x) = cos x·sin 3x − sin 2x, unde x este număr real. Arătați că E(π6) = 0.

cos(π6) = √32, sin(π2) = 1 și sin(π3) = √32.
E(π6) = (√32)·1 − √32 = 0.
Răspuns
E(π6) = 0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2x+104xx+1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 6.

A(1) = 3042.
det(A(1)) = 3·2 − 0·4 = 6.
Răspuns
det(A(1)) = 6
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care A(−2)·A(1) − 4I₂ = A(x).

A(−2) = −30−8−1, deci A(−2)·A(1) = −90−28−2.
A(−2)·A(1) − 4I₂ = −130−28−6 = A(−7), deci x = −7.
Răspuns
x = −7
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că det(A(x) + A(1x) − 2I₂) ≥ 8, pentru orice număr real nenul x.

A(x) + A(1x) − 2I₂ = 2x+2x04x+4xx+1x.
Determinantul: (2x + 2x)(x + 1x) = 2(x + 1x)² = 2(x² + 1x² + 2).
x² + 1x² + 2 = (x − 1x)² + 4 ≥ 4, deci determinantul e ≥ 8.
Răspuns
det = 2((x − 1x)² + 4) ≥ 8
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = x² − xy − x + 2y + 1.

a) (5p) Arătați că 1 ∘ 1 = 2.

1 ∘ 1 = 1 − 1 − 1 + 2 + 1 = 2.
Răspuns
1 ∘ 1 = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∘ (2x) = 1.

x ∘ (2x) = x² − 2x² − x + 4x + 1 = −x² + 3x + 1.
−x² + 3x + 1 = 1 ⇔ x(3 − x) = 0, deci x = 0 sau x = 3.
Răspuns
x = 0 sau x = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile (m, n) de numere naturale pentru care m ∘ n = m.

m ∘ n = m ⇔ m² − mn − 2m + 2n + 1 = 0 ⇔ (m − 2)(m − n) = −1.
Factorii sunt întregi cu produsul −1: m − 2 = 1 și m − n = −1, sau m − 2 = −1 și m − n = 1.
(m, n) = (3, 4) sau (m, n) = (1, 0).
Răspuns
(1, 0) și (3, 4)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = (x − 1)√x + 2√x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3x² − x − 22x√x, x∈(0, +∞).

f'(x) = √x + x − 12√x − 1x√x.
Cu numitorul comun 2x√x: 2x² + x(x − 1) − 22x√x = 3x² − x − 22x√x.
Răspuns
f'(x) = 3x² − x − 22x√x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→1 √x·f'(x)5x − 5 = 12.

√x·f'(x) = 3x² − x − 22x = (3x + 2)(x − 1)2x.
Împărțind la 5(x − 1): limx→1 3x + 210x = 510 = 12.
Răspuns
12
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați imaginea funcției f.

3x² − x − 2 = (3x + 2)(x − 1): f e descrescătoare pe (0, 1] și crescătoare pe [1, +∞).
f(1) = 2, limx→0 f(x) = +∞ (din 2√x) și limx→+∞ f(x) = +∞.
f e continuă, deci imaginea este [2, +∞).
Răspuns
Im f = [2, +∞)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² + x)eˣ.