Rezolvare BAC 2026 Matematică M1 mate-info, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea specială 2026 (Proba E.c) — 19.05.2026): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₂ al progresiei aritmetice (aₙ), în care a₁ = 6 și a₃ = 30.

Termenul din mijloc e media aritmetică a vecinilor: a₂ = a₁ + a₃2 = 362 = 18.
Răspuns
a₂ = 18
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = ax² + 2ax − 1, unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care (f∘f)(0) = 0.

f(0) = −1, deci (f∘f)(0) = f(−1) = a − 2a − 1 = −a − 1.
−a − 1 = 0, de unde a = −1.
Răspuns
a = −1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(2x² − 4x + 3) = 2log₂x.

Condiție: x > 0 (și 2x² − 4x + 3 > 0). Atunci 2log₂x = log₂x², deci 2x² − 4x + 3 = x².
x² − 4x + 3 = 0, deci x = 1 sau x = 3, care convin.
Răspuns
x = 1 sau x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Se consideră mulțimea A = {2, 4, 5, 6}. Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A.

Cifra unităților e pară: 2, 4 sau 6, adică 3 moduri.
Cifra zecilor: oricare din cele 3 cifre rămase; cifra sutelor: oricare din cele 2 rămase.
În total 3·3·2 = 18 numere.
Răspuns
18
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(6, 4) și B(1, 3). Determinați coordonatele punctului C pentru care 2BC = OA (vectori).

OA are coordonatele (6, 4), deci BC = (12)OA are coordonatele (3, 2).
C = B + (3, 2), deci C(4, 5).
Răspuns
C(4, 5)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6 și tg C = 13. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu √10.

tg C = ABAC, deci AB6 = 13 și AB = 2.
BC = √AB² + AC² = √40 = 2√10.
Ipotenuza e diametrul cercului circumscris: R = BC2 = √10.
Răspuns
R = √10
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 1−2aa02a1−a0001−3a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 4.

A(1) = −11020000−2.
Dezvoltând după ultima linie: det(A(1)) = −2·((−1)·0 − 1·2) = 4.
Răspuns
det(A(1)) = 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(a)·A(b) = A(a + b − 3ab), pentru orice numere reale a și b.

Notăm s = a + b − 3ab. Elementele produsului A(a)·A(b):
poziția (1,1): (1 − 2a)(1 − 2b) + 2ab = 1 − 2a − 2b + 6ab = 1 − 2s; poziția (1,2): (1 − 2a)b + a(1 − b) = a + b − 3ab = s;
poziția (2,1): 2a(1 − 2b) + 2b(1 − a) = 2s; poziția (2,2): 2ab + (1 − a)(1 − b) = 1 − s; poziția (3,3): (1 − 3a)(1 − 3b) = 1 − 3s; restul sunt 0.
Deci A(a)·A(b) = A(s) = A(a + b − 3ab).
Răspuns
A(a)·A(b) = A(a + b − 3ab)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a pentru care A(1)·A(a) + A(5) = 2A(4).

Din b): A(1)·A(a) = A(1 + a − 3a) = A(1 − 2a).
Elementele lui A(a) sunt de gradul întâi în a, deci 2A(4) − A(5) = A(2·4 − 5) = A(3).
Egalitatea devine A(1 − 2a) = A(3), deci 1 − 2a = 3 și a = −1.
Răspuns
a = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = mX⁴ − mX² + X + 1, unde m este număr real nenul.

a) (5p) Arătați că f(−1) = 0, pentru orice număr real nenul m.

f(−1) = m·(−1)⁴ − m·(−1)² + (−1) + 1 = m − m − 1 + 1 = 0.
Răspuns
f(−1) = 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real nenul m pentru care restul împărțirii polinomului f la polinomul g = X + 2 este egal cu 11.

Restul împărțirii la X + 2 este f(−2) = 16m − 4m − 2 + 1 = 12m − 1.
12m − 1 = 11, de unde m = 1.
Răspuns
m = 1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real nenul m pentru care x₁³ + x₂³ + x₃³ + x₄³ = 1, unde x₁, x₂, x₃ și x₄ sunt rădăcinile polinomului f.

Din Viète: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0, suma produselor câte trei este −1m, iar x₁x₂x₃x₄ = 1m ≠ 0 (deci rădăcinile sunt nenule).
Suma inverselor: 1x₁ + 1x₂ + 1x₃ + 1x₄ = −1/m1/m = −1.
Fiecare rădăcină verifică mx⁴ − mx² + x + 1 = 0; împărțind la x: mx³ = mx − 1 − 1x.
Adunând pentru cele patru rădăcini: m(x₁³ + … + x₄³) = m·0 − 4 − (−1) = −3.
x₁³ + … + x₄³ = 1 ⇔ m = −3.
Răspuns
m = −3
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(−1, +∞)→R, f(x) = eˣ + 2x + 1x + 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = xeˣ + 1(x + 1)², x∈(−1, +∞).

f'(x) = (eˣ + 2)(x + 1) − (eˣ + 2x + 1)(x + 1)².
Numărătorul: xeˣ + eˣ + 2x + 2 − eˣ − 2x − 1 = xeˣ + 1.
Răspuns
f'(x) = xeˣ + 1(x + 1)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = 2 și f'(0) = 1.
Tangenta: y − 2 = 1·(x − 0), adică y = x + 2.
Răspuns
y = x + 2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că funcția f este strict crescătoare.

Fie g:[−1, +∞)→R, g(x) = xeˣ + 1. g'(x) = (x + 1)eˣ ≥ 0, deci g e crescătoare.
g(−1) = 1 − 1e > 0, deci g(x) > 0 pentru orice x ≥ −1.
Cum (x + 1)² > 0 pe (−1, +∞), f'(x) = g(x)(x + 1)² > 0: f e strict crescătoare.
Răspuns
f'(x) > 0 pe (−1, +∞)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 6 + 1x + ln²xx.