Rezolvare BAC 2017 Matematică M1 mate-info, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea specială 2017 (Proba E.c) — sesiunea specială 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Calculați suma numerelor întregi din intervalul (−5, 5).

Numerele întregi din (−5, 5) sunt −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 (capetele nu aparțin intervalului).
Se reduc două câte două: (−4) + 4 = 0, (−3) + 3 = 0, (−2) + 2 = 0, (−1) + 1 = 0, deci suma este 0.
Răspuns
0
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 1. Calculați (f∘f)(1).

f(1) = 1² − 1 = 0.
(f∘f)(1) = f(f(1)) = f(0) = 0 − 1 = −1.
Răspuns
(f∘f)(1) = −1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x + 3 = x − 3.

Condiții: x + 3 ≥ 0 și x − 3 ≥ 0 (radicalul e nenegativ), deci x ≥ 3.
Ridicăm la pătrat: x + 3 = x² − 6x + 9, adică x² − 7x + 6 = 0, cu soluțiile x = 1 și x = 6.
x = 1 nu convine (1 < 3), iar x = 6 convine: √9 = 3 = 6 − 3.
Răspuns
x = 6
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1, 2, 3, …, 100}, acesta să fie multiplu de 11.

A are 100 de elemente, deci sunt 100 de cazuri posibile.
Multiplii lui 11 din A sunt 11, 22, …, 99: 9 numere, deci 9 cazuri favorabile.
p = 9100.
Răspuns
p = 9100
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(2,2) și N(4,2). Determinați coordonatele punctului P, situat pe axa Ox, astfel încât PM = PN.

P ∈ Ox, deci P(x, 0).
PM = PN ⇔ (2 − x)² + 2² = (4 − x)² + 2² ⇔ 4 − 4x + x² = 16 − 8x + x² ⇔ 4x = 12, deci x = 3.
Răspuns
P(3,0)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABC, în care AB = 6√2 și C = π4.

Din teorema sinusurilor: ABsin(C) = 2R.
R = AB2·sin(C) = 6√22·(√2/2) = 6√2√2 = 6.
Răspuns
R = 6
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = 11112ˣ4ˣ1x2x, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 1.

A(1) = 111124112.
det(A(1)) = 111124112 = 4 + 4 + 1 − 2 − 4 − 2 = 1.
Răspuns
det(A(1)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că det(A(x)) = (2ˣ − 1)(2ˣ + x − x·2ˣ), pentru orice număr real x.

Scădem prima linie din liniile 2 și 3: det(A(x)) = 11102ˣ − 14ˣ − 10x − 12x − 1 = 2ˣ − 14ˣ − 1x − 12x − 1.
Deci det(A(x)) = (2ˣ − 1)(2x − 1) − (4ˣ − 1)(x − 1), iar 4ˣ − 1 = (2ˣ − 1)(2ˣ + 1).
Scoatem factor comun: det(A(x)) = (2ˣ − 1)[(2x − 1) − (2ˣ + 1)(x − 1)] = (2ˣ − 1)(2x − 1 − x·2ˣ + 2ˣ − x + 1) = (2ˣ − 1)(2ˣ + x − x·2ˣ).
Răspuns
det(A(x)) = (2ˣ − 1)(2ˣ + x − x·2ˣ)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că A(1) + A(2) + A(3) + … + A(2017) = 20172017201720172(2²⁰¹⁷ − 1)(43)(4²⁰¹⁷ − 1)20172017·10092017·2018.

Elementele egale cu 1 din A(k) dau în sumă 2017 (prima linie și prima coloană).
Pe linia a doua: 2¹ + 2² + … + 2²⁰¹⁷ = 2·(2²⁰¹⁷ − 1)2 − 1 = 2(2²⁰¹⁷ − 1) și 4¹ + 4² + … + 4²⁰¹⁷ = 4·(4²⁰¹⁷ − 1)4 − 1 = (43)(4²⁰¹⁷ − 1) (progresii geometrice).
Pe linia a treia: 1 + 2 + … + 2017 = 2017·20182 = 2017·1009 și 2·1 + 2·2 + … + 2·2017 = 2017·2018.
Așezând sumele în matrice obținem exact matricea din enunț.
Răspuns
egalitatea este adevărată
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = 7xy + 7x + 7y + 6.

a) (5p) Arătați că x∗y = 7(x + 1)(y + 1) − 1, pentru orice numere reale x și y.

x∗y = 7xy + 7x + 7y + 7 − 1 = 7x(y + 1) + 7(y + 1) − 1.
Scoatem factor comun y + 1: x∗y = 7(x + 1)(y + 1) − 1.
Răspuns
x∗y = 7(x + 1)(y + 1) − 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x∗x∗x = x.

x∗x = 7(x + 1)² − 1, deci (x∗x)∗x = 7·7(x + 1)²·(x + 1) − 1 = 49(x + 1)³ − 1.
Ecuația devine 49(x + 1)³ − 1 = x, adică 49(x + 1)³ − (x + 1) = 0, sau (x + 1)(49(x + 1)² − 1) = 0.
x + 1 = 0 dă x = −1; (x + 1)² = 149 dă x + 1 = 17 sau x + 1 = −17, deci x = −67 sau x = −87.
Răspuns
x ∈ {−87, −1, −67}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, dacă a, b și c sunt numere naturale astfel încât a∗b∗c = 48, atunci numerele a, b și c sunt egale.

La fel ca la b): a∗b∗c = 49(a + 1)(b + 1)(c + 1) − 1.
49(a + 1)(b + 1)(c + 1) − 1 = 48 ⇔ (a + 1)(b + 1)(c + 1) = 1.
a, b, c naturale ⇒ a + 1, b + 1, c + 1 sunt naturale nenule cu produsul 1, deci a + 1 = b + 1 = c + 1 = 1, adică a = b = c = 0.
Răspuns
a = b = c (= 0)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 3eˣ.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = −x² + 2x + 3eˣ, x∈R.

Derivata câtului: f'(x) = 2x·eˣ − (x² − 3)·eˣ(eˣ)².
Simplificăm cu eˣ: f'(x) = 2x − x² + 3eˣ = −x² + 2x + 3eˣ.
Răspuns
f'(x) = −x² + 2x + 3eˣ
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = −1, situat pe graficul funcției f.

f(−1) = 1 − 3e⁻¹ = −2e și f'(−1) = −1 − 2 + 3e⁻¹ = 0.
Tangenta: y − f(−1) = f'(−1)(x + 1), adică y = −2e.
Răspuns
y = −2e
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că −2e ≤ f(x) ≤ 6e³, pentru orice x∈[−1, +∞).

f'(x) = −(x + 1)(x − 3)eˣ, deci f'(x) = 0 ⇔ x = −1 sau x = 3.
Pe [−1, 3], f'(x) ≥ 0, deci f e crescătoare; pe [3, +∞), f'(x) ≤ 0, deci f e descrescătoare.
f(−1) = −2e, f(3) = 6e³, iar limx→+∞ f(x) = 0 (exponențiala crește mai repede), cu f(x) > 0 pentru x ≥ 3.
Deci pe [−1, 3] avem −2e ≤ f(x) ≤ 6e³, iar pe [3, +∞) avem 0 < f(x) ≤ 6e³; în concluzie −2e ≤ f(x) ≤ 6e³ pentru orice x ∈ [−1, +∞).
Răspuns
−2e ≤ f(x) ≤ 6e³
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = √x(x + 1)².