Rezolvare BAC 2022 Matematică M1 mate-info, sesiunea I (iunie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea I (iunie) 2022 (Proba E.c) — iunie 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 8 − 6√6 + 6(√6 − 1) = 2.

6(√6 − 1) = 6√6 − 6.
8 − 6√6 + 6√6 − 6 = 8 − 6 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x + m, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care (f∘f)(0) = 4.

f(0) = m, deci (f∘f)(0) = f(m) = 3m + m = 4m.
4m = 4, de unde m = 1.
Răspuns
m = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3·2²ˣ + 4ˣ = 4.

2²ˣ = (2²)ˣ = 4ˣ, deci ecuația devine 3·4ˣ + 4ˣ = 4, adică 4·4ˣ = 4.
4ˣ = 1, deci x = 0.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului 6.

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
Cifra zecilor poate fi 1, 2, 3 sau 6 (divizorii lui 6), iar cifra unităților oricare din cele 10: 4·10 = 40 de cazuri favorabile.
p = 4090 = 49.
Răspuns
p = 49
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație y = 3x − 2 și punctul A(a, a), unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că punctul A aparține dreptei d.

A aparține dreptei d dacă coordonatele lui verifică ecuația: a = 3a − 2.
2a = 2, deci a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul isoscel ABC, cu AB = 10 și cos A = 0. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 50.

cos A = 0, deci A = π2: triunghiul e dreptunghic în A.
Fiind isoscel și dreptunghic în A, catetele sunt egale: AC = AB = 10.
Aria = AB·AC2 = 10·102 = 50.
Răspuns
Aria = 50
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = 1−xx²01−2x001, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 1.

A(1) = 1−1101−2001.
Matricea e triunghiulară (sub diagonală doar zerouri), deci determinantul e produsul elementelor de pe diagonală: det(A(1)) = 1·1·1 = 1.
Răspuns
det(A(1)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(x)·A(y) = A(x + y), pentru orice numere reale x și y.

A(x)·A(y) = 1−y−xy²+2xy+x²01−2y−2x001.
Elementul din colțul dreapta-sus: 1·y² + (−x)(−2y) + x²·1 = (x + y)².
Deci A(x)·A(y) = 1−(x+y)(x+y)²01−2(x+y)001 = A(x + y).
Răspuns
A(x)·A(y) = A(x + y)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul natural n pentru care A(n)·A(n + 1)·A(n + 2)·A(n + 3) = A(2n²).

Aplicând b) de trei ori: A(n)·A(n + 1)·A(n + 2)·A(n + 3) = A(n + n + 1 + n + 2 + n + 3) = A(4n + 6).
A(4n + 6) = A(2n²) cere (din elementul de pe poziția (1,2)) 4n + 6 = 2n², adică n² − 2n − 3 = 0.
Rădăcinile sunt n = 3 și n = −1; cum n e natural, n = 3.
Răspuns
n = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = [0, +∞) se definește legea de compoziție x ∗ y = 2xy + 2 + 2yx + 2.

a) (5p) Arătați că 1 ∗ 0 = 1.

1 ∗ 0 = 2·10 + 2 + 2·01 + 2 = 1 + 0 = 1.
Răspuns
1 ∗ 0 = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x ∗ 0 = 2x2 + 2·0x + 2 = x, pentru orice x∈M.
0 ∗ x = 2·0x + 2 + 2x2 = x, pentru orice x∈M.
Deci e = 0 este elementul neutru.
Răspuns
e = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați x∈M, x nenul, pentru care x ∗ (4x) = x.

Primul termen: numitorul e 4x + 2 = 4 + 2xx, deci 2x împărțit la el dă 2x²2x + 4 = x²x + 2.
Al doilea termen: 2·(4x) = 8x, împărțit la x + 2 dă 8x(x + 2).
x ∗ (4x) = x²x + 2 + 8x(x + 2) = x³ + 8x(x + 2).
x³ + 8x(x + 2) = x ⇔ x³ + 8 = x³ + 2x² ⇔ x² = 4, iar cum x∈M e nenul, x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2 + xeˣ − x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ(1 − x)(eˣ − x)², x∈R.

f'(x) = (eˣ − x) − x(eˣ − 1)(eˣ − x)².
Numărătorul: eˣ − x − xeˣ + x = eˣ − xeˣ = eˣ(1 − x).
Deci f'(x) = eˣ(1 − x)(eˣ − x)².
Răspuns
f'(x) = eˣ(1 − x)(eˣ − x)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

eˣ > 0 și (eˣ − x)² > 0, deci semnul lui f'(x) e semnul lui 1 − x; f'(x) = 0 ⇔ x = 1.
Pentru x∈(−∞, 1], f'(x) ≥ 0, deci f e crescătoare pe (−∞, 1].
Pentru x∈[1, +∞), f'(x) ≤ 0, deci f e descrescătoare pe [1, +∞).
Răspuns
f crescătoare pe (−∞, 1], descrescătoare pe [1, +∞)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, pentru orice m∈(1, 2], ecuația f(x) = m are soluție unică.

limx→−∞ f(x) = 1 (eˣ → 0, deci xeˣ − x → −1), f(1) = 2 + 1e − 1 și limx→+∞ f(x) = 2 (xeˣ − x → 0).
Pe (−∞, 1), f e continuă și strict crescătoare, cu valori de la 1 la 2 + 1e − 1: orice m∈(1, 2] e atins exact o dată.
Pe (1, +∞), f e strict descrescătoare, de la 2 + 1e − 1 spre 2, deci ia doar valori mai mari decât 2: acolo ecuația nu are soluție. În x = 1, f(1) > 2 ≥ m.
Deci pentru orice m∈(1, 2] ecuația f(x) = m are soluție unică.
Răspuns
Soluție unică, pe (−∞, 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3 − x + √x² + 9.