Rezolvare BAC 2020 Matematică M1 mate-info, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din modelul 2020 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2020): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁ este egală cu 30. Determinați a₂.

Într-o progresie aritmetică, a₂ = a₁ + a₃2, deci a₁ + a₃ = 2a₂.
a₁ + a₂ + a₃ = 3a₂ = 30, deci a₂ = 10.
Răspuns
a₂ = 10
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 6x + 9. Arătați că (f∘f)(3) = 9.

f(3) = 9 − 18 + 9 = 0.
(f∘f)(3) = f(f(3)) = f(0) = 9.
Răspuns
(f∘f)(3) = 9
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x − 6) = 6 − log₂(x + 6).

Condiții de existență: x − 6 > 0 și x + 6 > 0, deci x > 6.
Ecuația devine log₂(x − 6) + log₂(x + 6) = 6, adică log₂((x − 6)(x + 6)) = 6, deci (x − 6)(x + 6) = 2⁶ = 64.
x² − 36 = 64 ⇒ x² = 100 ⇒ x = −10 (nu convine) sau x = 10 (convine).
Răspuns
x = 10
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Cifra zecilor trebuie să fie nenulă: se poate alege în 5 moduri (1, 2, 3, 4, 5).
Cifra unităților trebuie să fie diferită de cifra zecilor: rămân 5 variante (inclusiv 0).
În total: 5·5 = 25 de numere.
Răspuns
25 de numere
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) Se consideră triunghiul ABC, punctul D mijlocul laturii AC și punctul E mijlocul segmentului BD. Arătați că vectorul CE = (14)·CA − (12)·BC (vectori).

E este mijlocul lui BD, deci în triunghiul CBD: CE = (12)·CD + (12)·CB (vectori).
D este mijlocul lui AC, deci CD = (12)·CA.
Obținem CE = (14)·CA + (12)·CB = (14)·CA − (12)·BC, deoarece CB = −BC.
Răspuns
CE = (14)·CA − (12)·BC
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC cu AB = 2√3, A = π4 și B = 5π12. Determinați raza cercului circumscris triunghiului ABC.

C = π − (A + B) = π − (3π12 + 5π12) = π − 8π12 = π3, deci sin(C) = √32.
Teorema sinusurilor: ABsin(C) = 2R, adică 2√3 : (√32) = 4 = 2R.
Deci R = 2.
Răspuns
R = 2
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = a21a411−1a și sistemul de ecuații ax + 2y + z = 4ax + 4y + z = 6x − y + az = 1, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 0.

A(1) = 1211411−11.
Prima și a treia coloană sunt egale, deci determinantul este 0. Prin calcul (regula lui Sarrus): 4 + (−1) + 2 − 4 − (−1) − 2 = 0.
Răspuns
det(A(1)) = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale a pentru care matricea A(a) are rangul 2.

Dezvoltând după prima linie: det(A(a)) = a·(4a + 1) − 2·(a² − 1) + 1·(−a − 4) = 2a² − 2 = 2(a² − 1).
Minorul 2141 = 2 − 4 = −2 ≠ 0, deci rangul este cel puțin 2.
Rangul este exact 2 ⇔ det(A(a)) = 0 ⇔ a² = 1 ⇔ a = −1 sau a = 1.
Răspuns
a ∈ {−1, 1}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că sistemul are soluție unică (x₀, y₀, z₀) și x₀² + y₀² + z₀² = 3.

Sistemul are soluție unică ⇔ det(A(a)) ≠ 0 ⇔ a ∈ R \ {−1, 1}.
Scăzând prima ecuație din a doua: 2y = 2, deci y₀ = 1. Rămân ax + z = 2 și x + az = 2; scăzându-le: (a − 1)(x − z) = 0, deci x = z, iar (a + 1)x = 2.
Soluția: x₀ = z₀ = 2a + 1, y₀ = 1.
Condiția: 8(a + 1)² + 1 = 3 ⇒ (a + 1)² = 4 ⇒ a = 1 (nu convine) sau a = −3.
Răspuns
a = −3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy − (12)(x + y) + 34. Legea de compoziție este asociativă și are elementul neutru e = 32.

a) (5p) Demonstrați că x ∗ y = (x − 12)(y − 12) + 12, pentru orice numere reale x și y.

x ∗ y = xy − x2 − y2 + 14 + 12.
= x(y − 12) − (12)(y − 12) + 12 = (x − 12)(y − 12) + 12.
Răspuns
x ∗ y = (x − 12)(y − 12) + 12
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale nenule x pentru care (1x) ∗ x ∗ (1x) = x ∗ (1x) ∗ x.

Din a): a ∗ b ∗ c = (a − 12)(b − 12)(c − 12) + 12.
Ecuația devine (1x − 12)²(x − 12) = (x − 12)²(1x − 12), adică (1x − 12)(x − 12)(1x − x) = 0.
1x − 12 = 0 ⇒ x = 2; x − 12 = 0 ⇒ x = 12; 1x − x = 0 ⇒ x² = 1 ⇒ x = −1 sau x = 1.
Răspuns
x ∈ {−1, 12, 1, 2}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că nu există numere întregi x și y, astfel încât x să fie simetricul lui y în raport cu legea de compoziție „∗”.

Presupunem că există x, y întregi cu x ∗ y = e = 32.
Atunci (x − 12)(y − 12) + 12 = 32, adică (x − 12)(y − 12) = 1, deci (2x − 1)(2y − 1) = 4.
Pentru x, y întregi, 2x − 1 și 2y − 1 sunt impare, deci produsul lor e impar și nu poate fi 4 (număr par). Contradicție.
Răspuns
Nu există astfel de numere întregi
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x² − 8x + 8ln x + 12 − 8ln2.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2(x − 2)²x, x ∈ (0,+∞).

f'(x) = 2x − 8 + 8x.
Aducând la același numitor: f'(x) = 2x² − 8x + 8x = 2(x² − 4x + 4)x = 2(x − 2)²x.
Răspuns
f'(x) = 2(x − 2)²x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A(3,3) și este paralelă cu tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2, situat pe graficul funcției f.

Dreapta e paralelă cu tangenta în x = 2, deci are panta f'(2).
f'(2) = 2·0²2 = 0, deci dreapta e orizontală.
Trecând prin A(3,3), ecuația ei este y = 3.
Răspuns
y = 3
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Se consideră numerele reale a, b și c astfel încât punctul M(a,b) este situat pe graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x) = x² − 8ln2 + 8ln x și punctul N(a,c) este situat pe graficul funcției h:(0,+∞)→R, h(x) = 8x − 12. Demonstrați că b ≥ c, pentru orice a ∈ [2,+∞).

b = g(a) și c = h(a), iar g(a) − h(a) = a² − 8a + 8ln a + 12 − 8ln2 = f(a).
f'(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ (0,+∞), deci f este crescătoare pe (0,+∞).
f(2) = 4 − 16 + 8ln2 + 12 − 8ln2 = 0, deci pentru a ≥ 2 avem f(a) ≥ f(2) = 0.
Prin urmare g(a) ≥ h(a), adică b ≥ c, pentru orice a ∈ [2,+∞).
Răspuns
b ≥ c
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 4x² + 4.