Rezolvare BAC 2022 Matematică M1 mate-info, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din simularea 2022 (Simularea națională a clasei a XII-a — martie 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe z₁ = 1 − 2i și z₂ = 2 + i. Arătați că (z₁ + i)(z₂ − 1) = 2.

z₁ + i = 1 − i și z₂ − 1 = 1 + i.
(1 − i)(1 + i) = 1 − i² = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 4x + m, unde m este număr real. Determinați valorile reale ale lui m pentru care f(x) > 0, pentru orice număr real x.

Coeficientul lui x² e pozitiv, deci f(x) > 0 pentru orice x ⇔ Δ < 0.
Δ = 16 − 4m < 0, deci m∈(4, +∞).
Răspuns
m∈(4, +∞)
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 + 2log₂√x − 2 = log₂x.

Condiție: x > 2. Atunci 2log₂√x − 2 = log₂(x − 2), deci ecuația devine 1 = log₂x − log₂(x − 2) = log₂(xx − 2).
xx − 2 = 2, deci x = 4, care convine.
Răspuns
x = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Se consideră mulțimea A, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să aibă exact doi multipli în mulțimea A.

A are 90 de elemente: 90 de cazuri posibile.
n din A are exact doi multipli în A (n și 2n) ⇔ 2n ≤ 99 < 3n ⇔ 33 < n ≤ 49: numerele 34, 35, …, 49, adică 16 cazuri favorabile.
p = 1690 = 845.
Răspuns
p = 845
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−2, −2), B(3, 1) și M(2, 4). Determinați coordonatele punctului N, știind că patrulaterul ABMN este paralelogram.

Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc: AM și BN au același mijloc.
Mijlocul lui AM este P(0, 1), deci N = 2P − B, adică N(−3, 1).
Răspuns
N(−3, 1)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, în care sin(A + B) + cos C = 1. Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic.

A + B = π − C, deci sin(A + B) = sin C și egalitatea devine sin C + cos C = 1.
Ridicând la pătrat: sin²C + 2sin C·cos C + cos²C = 1, deci sin 2C = 0.
C∈(0, π), deci 2C∈(0, 2π) și 2C = π, adică C = π2 (care verifică egalitatea): triunghiul e dreptunghic în C.
Răspuns
C = π2
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 13a21−1a31 și sistemul de ecuații x + 3y + az = 22x + y − z = −1ax + 3y + z = 1, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 0.

A(1) = 13121−1131.
Prima și a treia linie sunt egale, deci det(A(1)) = 0.
Răspuns
det(A(1)) = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că B(a)·B(a)·B(a) = a³B(1), pentru orice număr real a, unde B(a) = A(a) − A(0).

B(a) = 00a000a00, deci B(a)·B(a) = a²0000000a².
B(a)·B(a)·B(a) = 00a³000a³00 = a³·001000100 = a³B(1).
Răspuns
B(a)·B(a)·B(a) = a³B(1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci x₀y₀ + y₀z₀ + z₀x₀ ≤ 0, pentru orice soluție (x₀, y₀, z₀) a sistemului de ecuații, cu x₀, y₀ și z₀ numere reale.

O infinitate de soluții cere det(A(a)) = 0; det(A(a)) = −a² + 3a − 2 = −(a − 1)(a − 2), deci a = 1 sau a = 2.
Pentru a = 1, prima și a treia ecuație devin x + 3y + z = 2 și x + 3y + z = 1: sistemul e incompatibil, nu convine.
Pentru a = 2, soluțiile sunt (α − 1, −α + 1, α), α∈R (se verifică în toate trei ecuațiile).
x₀y₀ + y₀z₀ + z₀x₀ = (α − 1)(1 − α) + α(1 − α) + α(α − 1) = −(α − 1)² ≤ 0.
Răspuns
x₀y₀ + y₀z₀ + z₀x₀ = −(α − 1)² ≤ 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție z₁ ∗ z₂ = z₁ + z₂4·|z₁z₂| + 1.

a) (5p) Arătați că (−1) ∗ 2 = 19.

(−1) ∗ 2 = −1 + 24·|−2| + 1 = 18 + 1 = 19.
Răspuns
(−1) ∗ 2 = 19
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

z ∗ 0 = z + 04·|z·0| + 1 = z, pentru orice număr complex z.
0 ∗ z = 0 + z4·|0·z| + 1 = z, deci e = 0 e elementul neutru.
Răspuns
e = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică egalitatea |z ∗ z| = |z|.

z ∗ z = 2z4|z|² + 1, deci |z ∗ z| = 2|z|4|z|² + 1.
Pentru z nenul, 2|z|4|z|² + 1 = |z| ⇔ 4|z|² + 1 = 2 ⇔ |z| = 12.
De exemplu, numerele distincte și nenule 12, −12 și i2 au modulul 12, deci verifică egalitatea.
Răspuns
orice z cu |z| = 12, de exemplu 12, −12, i2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = √(x⁴ + 16)x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (x² − 4)(x² + 4)x²√(x⁴ + 16), x∈(0, +∞).

f'(x) = (4x³)/(2√(x⁴ + 16))·x − √(x⁴ + 16)x² = 2x⁴ − (x⁴ + 16)x²√(x⁴ + 16).
f'(x) = x⁴ − 16x²√(x⁴ + 16) = (x² − 4)(x² + 4)x²√(x⁴ + 16).
Răspuns
f'(x) = (x² − 4)(x² + 4)x²√(x⁴ + 16)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ f(x)x = limx→+∞ √(x⁴ + 16)x² = limx→+∞ √1 + 16x⁴ = 1.
limx→+∞ (f(x) − x) = limx→+∞ √(x⁴ + 16) − x²x = limx→+∞ 16x(√(x⁴ + 16) + x²) = 0.
Asimptota oblică spre +∞ este y = x.
Răspuns
y = x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați valorile reale ale lui m pentru care ecuația f(x) + f(4x) = m are exact două soluții.

f(4x) = √(256/x⁴ + 16)4/x = (4√(x⁴ + 16)x²)·(x4) = f(x), deci ecuația este 2f(x) = m.
f'(x) = 0 ⇔ x = 2; f e strict descrescătoare pe (0, 2) și strict crescătoare pe (2, +∞), cu f(2) = √322 = 2√2.
g(x) = 2f(x) e continuă, cu g(2) = 4√2, limx→0 g(x) = +∞ și limx→+∞ g(x) = +∞.
Ecuația g(x) = m are exact două soluții ⇔ m∈(4√2, +∞).
Răspuns
m∈(4√2, +∞)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 1eˣ.