Rezolvare BAC 2018 Matematică M1 mate-info, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea a II-a (toamnă) 2018 (Proba E.c) — sesiunea de toamnă 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul n = |1 − √2| + |2 − √2| este natural.

√2 > 1, deci |1 − √2| = √2 − 1; √2 < 2, deci |2 − √2| = 2 − √2.
n = √2 − 1 + 2 − √2 = 1, care este număr natural.
Răspuns
n = 1 ∈ N
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 11 − x și g:R→R, g(x) = 1 − 11x. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f(x) ≥ g(x).

11 − x ≥ 1 − 11x ⇔ 10x ≥ −10 ⇔ x ≥ −1.
Mulțimea soluțiilor este [−1, +∞).
Răspuns
x ∈ [−1, +∞)
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3ˣ·2ˣ⁺¹ = 72.

2ˣ⁺¹ = 2·2ˣ, deci ecuația devine 2·(3·2)ˣ = 72, adică 6ˣ = 36.
6ˣ = 6², deci x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma folosind doar cifre impare.

Cifrele impare sunt 1, 3, 5, 7, 9 (cinci cifre, niciuna nu e 0).
Cifra sutelor se alege în 5 moduri, a zecilor în 4 moduri, a unităților în 3 moduri: 5·4·3 = 60.
Răspuns
60 de numere
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−3,3), B(1,3) și C(1,5). Calculați aria triunghiului ABC.

A și B au aceeași ordonată, deci AB e paralel cu Ox și AB = 1 − (−3) = 4.
B și C au aceeași abscisă, deci BC e paralel cu Oy și BC = 5 − 3 = 2; triunghiul e dreptunghic în B.
Aria = AB·BC2 = 4·22 = 4.
Răspuns
Aria = 4
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, știind că BC = 4, B = π3 și C = π6.

A = π − (π3 + π6) = π2.
Din teorema sinusurilor: BCsin A = 2R, deci 2R = 41 = 4 și R = 2.
Răspuns
R = 2
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = 1x−2001000eˣ⁻², unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 1.

A(2) = 100010001 = I₃ (e⁰ = 1).
Determinantul matricei unitate este 1, deci det(A(2)) = 1.
Răspuns
det(A(2)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(x)A(y) = A(x + y − 2), pentru orice numere reale x și y.

A(x)A(y) = 1y−2+x−2001000eˣ⁻²·eʸ⁻².
Cum eˣ⁻²·eʸ⁻² = eˣ⁺ʸ⁻⁴ și (x + y − 2) − 2 = x + y − 4, produsul este 1x+y−4001000eˣ⁺ʸ⁻⁴ = A(x + y − 2).
Răspuns
A(x)A(y) = A(x + y − 2)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale m pentru care A(1)A(2)A(3)·…·A(10) = A(m² + m + 17).

Din b), la fiecare înmulțire argumentele se adună și se scade 2. Pentru 10 factori facem 9 înmulțiri: A(1)A(2)·…·A(10) = A(1 + 2 + … + 10 − 2·9) = A(55 − 18) = A(37).
A este injectivă (elementul de pe linia 1, coloana 2 este x − 2), deci m² + m + 17 = 37, adică m² + m − 20 = 0.
(m + 5)(m − 4) = 0, deci m = −5 sau m = 4.
Răspuns
m = −5 sau m = 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ − 4X² + 5X + a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că f(1) − f(−1) = 12.

f(1) = 1 − 4 + 5 + a = a + 2 și f(−1) = −1 − 4 − 5 + a = a − 10.
f(1) − f(−1) = a + 2 − a + 10 = 12.
Răspuns
12
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real a, știind că polinomul f este divizibil cu polinomul X − 2.

f este divizibil cu X − 2 ⇔ f(2) = 0.
f(2) = 8 − 16 + 10 + a = a + 2 = 0, deci a = −2.
Răspuns
a = −2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că toate rădăcinile polinomului f sunt numere întregi.

Din relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = 4 și x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 5.
x₁² + x₂² + x₃² = 4² − 2·5 = 6. Pentru numere întregi, singura scriere a lui 6 ca sumă de trei pătrate perfecte este 1 + 1 + 4, deci rădăcinile sunt ±1, ±1, ±2.
Cum suma lor este 4, rădăcinile sunt 1, 1 și 2. Atunci x₁x₂x₃ = 2 = −a, deci a = −2.
Verificare: pentru a = −2, f = X³ − 4X² + 5X − 2 = (X − 1)²(X − 2), cu rădăcinile 1, 1, 2 — convine.
Răspuns
a = −2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = (1√x)·ln x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2 − ln x2x√x, x∈(0,+∞).

f(x) = x^−1/2·ln x, deci f'(x) = −(12)·x^−3/2·ln x + x^−1/2·(1x).
f'(x) = −ln x2x√x + 1x√x = 2 − ln x2x√x.
Răspuns
f'(x) = 2 − ln x2x√x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f, în care tangenta la graficul funcției f este perpendiculară pe axa Oy.

Tangenta este perpendiculară pe Oy dacă este paralelă cu Ox, adică are panta 0: f'(a) = 0.
2 − ln a2a√a = 0 ⇔ ln a = 2 ⇔ a = e².
Răspuns
x = e²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 2^√3 < 3^√2.

Pe (0, e²) avem ln x < 2, deci f'(x) > 0 și f este strict crescătoare pe (0, e²].
0 < 2 < 3 < e², deci f(2) < f(3), adică ln2√2 < ln3√3.
Înmulțind cu √2·√3 > 0: √3·ln2 < √2·ln3, adică ln(2^√3) < ln(3^√2).
Funcția ln e strict crescătoare, deci 2^√3 < 3^√2.
Răspuns
2^√3 < 3^√2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 4x − x².

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că ∫[0,3] f(x) dx = 9.

∫[0,3] (4x − x²) dx = [2x² − x³3] de la 0 la 3.
= 18 − 9 = 9.
Răspuns
9
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că ∫[1,2] 2 − xf(x) dx = (12)·ln(43).

(4x − x²)' = 4 − 2x = 2(2 − x), deci 2 − x4x − x² = (12)·4 − 2x4x − x², cu primitiva (12)·ln(4x − x²) (pe [1, 2], 4x − x² > 0).
Valoarea: (12)(ln4 − ln3) = (12)·ln(43).
Răspuns
(12)·ln(43)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[0,4] fⁿ(x) dx. Demonstrați că Iₙ₊₁ ≤ 4Iₙ, pentru orice număr natural nenul n.

Iₙ₊₁ − 4Iₙ = ∫[0,4] fⁿ(x)(f(x) − 4) dx = ∫[0,4] fⁿ(x)(4x − x² − 4) dx = −∫[0,4] fⁿ(x)(x − 2)² dx.
Pe [0, 4], f(x) = x(4 − x) ≥ 0, deci fⁿ(x)(x − 2)² ≥ 0 și integrala ei este ≥ 0.
Rezultă Iₙ₊₁ − 4Iₙ ≤ 0, adică Iₙ₊₁ ≤ 4Iₙ.
Răspuns
Iₙ₊₁ ≤ 4Iₙ
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Rezolvare BAC 2018 Matematică M1 mate-info, sesiunea a II-a (toamnă)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul n = |1 − √2| + |2 − √2| este natural.

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 11 − x și g:R→R, g(x) = 1 − 11x. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f(x) ≥ g(x).

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3ˣ·2ˣ⁺¹ = 72.

4. (5p) Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma folosind doar cifre impare.

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−3,3), B(1,3) și C(1,5). Calculați aria triunghiului ABC.

6. (5p) Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, știind că BC = 4, B = π3 și C = π6.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 1.

b) (5p) Demonstrați că A(x)A(y) = A(x + y − 2), pentru orice numere reale x și y.

c) (5p) Determinați numerele reale m pentru care A(1)A(2)A(3)·…·A(10) = A(m² + m + 17).

a) (5p) Arătați că f(1) − f(−1) = 12.

b) (5p) Determinați numărul real a, știind că polinomul f este divizibil cu polinomul X − 2.

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că toate rădăcinile polinomului f sunt numere întregi.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2 − ln x2x√x, x∈(0,+∞).

b) (5p) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f, în care tangenta la graficul funcției f este perpendiculară pe axa Oy.

c) (5p) Demonstrați că 2^√3 < 3^√2.

a) (5p) Arătați că ∫[0,3] f(x) dx = 9.

b) (5p) Arătați că ∫[1,2] 2 − xf(x) dx = (12)·ln(43).

c) (5p) Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[0,4] fⁿ(x) dx. Demonstrați că Iₙ₊₁ ≤ 4Iₙ, pentru orice număr natural nenul n.

Acum încearcă singur

Alte rezolvări M1 mate-info

Rezolvare BAC 2018 Matematică M1 mate-info, sesiunea a II-a (toamnă)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul n = |1 − √2| + |2 − √2| este natural.

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 11 − x și g:R→R, g(x) = 1 − 11x. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f(x) ≥ g(x).

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3ˣ·2ˣ⁺¹ = 72.

4. (5p) Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma folosind doar cifre impare.

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−3,3), B(1,3) și C(1,5). Calculați aria triunghiului ABC.

6. (5p) Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, știind că BC = 4, B = π3 și C = π6.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 1.

b) (5p) Demonstrați că A(x)A(y) = A(x + y − 2), pentru orice numere reale x și y.

c) (5p) Determinați numerele reale m pentru care A(1)A(2)A(3)·…·A(10) = A(m² + m + 17).

a) (5p) Arătați că f(1) − f(−1) = 12.

b) (5p) Determinați numărul real a, știind că polinomul f este divizibil cu polinomul X − 2.

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că toate rădăcinile polinomului f sunt numere întregi.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2 − ln x2x√x, x∈(0,+∞).

b) (5p) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f, în care tangenta la graficul funcției f este perpendiculară pe axa Oy.

c) (5p) Demonstrați că 2√3 < 3√2.

a) (5p) Arătați că ∫[0,3] f(x) dx = 9.

b) (5p) Arătați că ∫[1,2] 2 − xf(x) dx = (12)·ln(43).

c) (5p) Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[0,4] fⁿ(x) dx. Demonstrați că Iₙ₊₁ ≤ 4Iₙ, pentru orice număr natural nenul n.

Acum încearcă singur

Alte rezolvări M1 mate-info

c) (5p) Demonstrați că 2^√3 < 3^√2.