Rezolvare BAC 2020 Matematică M2 științe ale naturii, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din modelul 2020 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2020): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (0,3·10 − 1)(0,3·10 + 1) = 8.

0,3·10 = 3.
(3 − 1)(3 + 1) = 2·4 = 8.
Răspuns
8
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră x₁ și x₂ soluțiile ecuației x² − 6x + m = 0, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care x₁x₂(x₁ + x₂) = 12.

Relațiile lui Viète: x₁ + x₂ = 6 și x₁x₂ = m.
Condiția devine 6m = 12, deci m = 2.
Răspuns
m = 2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2√5 − x = √x + 10.

Condiții: 5 − x ≥ 0 și x + 10 ≥ 0, adică x ∈ [−10, 5].
Ridicând la pătrat: 4(5 − x) = x + 10 ⇒ 20 − 4x = x + 10 ⇒ 5x = 10 ⇒ x = 2.
Verificare: 2√3 = √12, adevărat, deci x = 2 convine.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor cu 3 mai mare decât cifra unităților.

Sunt 90 de numere naturale de două cifre (10, …, 99), deci 90 de cazuri posibile.
Numerele favorabile: 30, 41, 52, 63, 74, 85, 96, adică 7 cazuri favorabile.
p = 790.
Răspuns
p = 790
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) Determinați numărul real a pentru care vectorii u = a·i + (a − 1)·j și v = 3·i + 4·j sunt coliniari.

Vectorii sunt coliniari ⇔ coordonatele sunt proporționale: a3 = a − 14.
4a = 3a − 3, deci a = −3.
Răspuns
a = −3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că, dacă x este număr real pentru care sin x = cos x, atunci cos 2x = 0.

cos 2x = cos²x − sin²x = (cos x − sin x)(cos x + sin x).
Cum cos x − sin x = 0, obținem cos 2x = 0·(cos x + sin x) = 0.
Răspuns
cos 2x = 0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a,b) = a2b−ba, unde a și b sunt numere reale.

a) (5p) Arătați că det(A(1,1)) = 3.

A(1,1) = 12−11.
det(A(1,1)) = 1·1 − (−1)·2 = 1 + 2 = 3.
Răspuns
det(A(1,1)) = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(a,b)·A(b,a) = A(−ab, a² + b²), pentru orice numere reale a și b.

A(a,b)·A(b,a) = a2b−ba·b2a−ab = ab − 2ab2a² + 2b²−b² − a²−2ab + ab.
= −ab2(a² + b²)−(a² + b²)−ab = A(−ab, a² + b²).
Răspuns
A(a,b)·A(b,a) = A(−ab, a² + b²)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile de numere întregi m și n pentru care det(A(m,n)) = 1.

det(A(m,n)) = m·m − (−n)·2n = m² + 2n².
m² + 2n² = 1 cu m, n întregi: dacă n ≠ 0, atunci 2n² ≥ 2 > 1, imposibil; deci n = 0 și m² = 1.
Obținem m = −1, n = 0 sau m = 1, n = 0.
Răspuns
(m, n) ∈ {(−1, 0), (1, 0)}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ − 15X² + mX − 80, unde m este număr real.

a) (5p) Pentru m = 95, arătați că f(1) = 1.

Pentru m = 95: f = X³ − 15X² + 95X − 80.
f(1) = 1 − 15 + 95 − 80 = 1.
Răspuns
f(1) = 1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real m pentru care x₁(x₁ − x₂) + x₂(x₂ − x₃) + x₃(x₃ − x₁) = 0, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Viète: x₁ + x₂ + x₃ = 15 și x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = m.
Expresia este x₁² + x₂² + x₃² − (x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃) = (x₁ + x₂ + x₃)² − 3(x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃).
225 − 3m = 0, deci m = 75.
Răspuns
m = 75
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați rădăcinile polinomului f, știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică.

În progresie aritmetică: 2x₂ = x₁ + x₃, iar x₁ + x₂ + x₃ = 15, deci 3x₂ = 15 și x₂ = 5.
x₁x₂x₃ = 80 ⇒ x₁x₃ = 16, iar x₁ + x₃ = 10.
x₁ și x₃ sunt soluțiile ecuației t² − 10t + 16 = 0, adică 2 și 8.
Răspuns
rădăcinile sunt 2, 5 și 8
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ − x − 10.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(0) = 0.

f'(x) = eˣ − 1, x ∈ R.
f'(0) = e⁰ − 1 = 0.
Răspuns
f'(0) = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că oricare două tangente la graficul funcției f sunt concurente.

f''(x) = eˣ > 0 pentru orice x real, deci f' este strict crescătoare, deci injectivă.
Pentru x₁ ≠ x₂ avem f'(x₁) ≠ f'(x₂), deci tangentele în punctele (x₁, f(x₁)) și (x₂, f(x₂)) au pante diferite.
Două drepte cu pante diferite nu sunt paralele, deci sunt concurente.
Răspuns
Tangentele au pante diferite, deci sunt concurente
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că e^x³ ≥ (x + 1)(x² − x + 1), pentru orice număr real x.

f'(x) = 0 ⇔ x = 0; f'(x) ≤ 0 pe (−∞,0], deci f e descrescătoare acolo, și f'(x) ≥ 0 pe [0,+∞), deci f e crescătoare acolo.
Minimul lui f este f(0) = 1 − 0 − 10 = −9, deci f(x) ≥ −9 pentru orice x real.
Pentru x³ în loc de x: f(x³) ≥ −9 ⇒ e^x³ − x³ − 10 ≥ −9 ⇒ e^x³ ≥ x³ + 1.
Cum x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1), obținem inegalitatea cerută.
Răspuns
e^x³ ≥ (x + 1)(x² − x + 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,+∞), f(x) = x + 9x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că ∫[1,3] (f(x) − 9x) dx = 4.

f(x) − 9x = x.
∫[1,3] x dx = [x²2] de la 1 la 3 = 92 − 12 = 4.
Răspuns
4
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x) = 2f(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 9 are aria egală cu 2ln3.

f(x) = x² + 9x, deci g(x) = 2xx² + 9 > 0 pe [1,9].
Aria = ∫[1,9] 2xx² + 9 dx = [ln(x² + 9)] de la 1 la 9.
= ln90 − ln10 = ln9 = 2ln3.
Răspuns
Aria = 2ln3
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că ∫[1,√3] (f(x) − 9x)·arctg x dx = 5π12 − 3 + √3 − a2.

f(x) − 9x = x, deci integrala este ∫[1,√3] x·arctg x dx.
Prin părți, cu (x² + 12)' = x: ∫ x·arctg x dx = (x² + 12)·arctg x − ∫ (x² + 12)·1/(x² + 1) dx = (x² + 12)·arctg x − x2.
Între 1 și √3: 2·(π3) − 1·(π4) − √3 − 12 = 5π12 − √3 − 12.
Egalând: 3 + √3 − a = √3 − 1, deci a = 4.
Răspuns
a = 4
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Rezolvare BAC 2020 Matematică M2 științe ale naturii, modelul

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (0,3·10 − 1)(0,3·10 + 1) = 8.

2. (5p) Se consideră x₁ și x₂ soluțiile ecuației x² − 6x + m = 0, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care x₁x₂(x₁ + x₂) = 12.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2√5 − x = √x + 10.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor cu 3 mai mare decât cifra unităților.

5. (5p) Determinați numărul real a pentru care vectorii u = a·i + (a − 1)·j și v = 3·i + 4·j sunt coliniari.

6. (5p) Arătați că, dacă x este număr real pentru care sin x = cos x, atunci cos 2x = 0.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că det(A(1,1)) = 3.

b) (5p) Demonstrați că A(a,b)·A(b,a) = A(−ab, a² + b²), pentru orice numere reale a și b.

c) (5p) Determinați perechile de numere întregi m și n pentru care det(A(m,n)) = 1.

a) (5p) Pentru m = 95, arătați că f(1) = 1.

b) (5p) Determinați numărul real m pentru care x₁(x₁ − x₂) + x₂(x₂ − x₃) + x₃(x₃ − x₁) = 0, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

c) (5p) Determinați rădăcinile polinomului f, știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că f'(0) = 0.

b) (5p) Demonstrați că oricare două tangente la graficul funcției f sunt concurente.

c) (5p) Demonstrați că e^x³ ≥ (x + 1)(x² − x + 1), pentru orice număr real x.

a) (5p) Arătați că ∫[1,3] (f(x) − 9x) dx = 4.

b) (5p) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x) = 2f(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 9 are aria egală cu 2ln3.

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că ∫[1,√3] (f(x) − 9x)·arctg x dx = 5π12 − 3 + √3 − a2.

Acum încearcă singur

Alte rezolvări M2 științe ale naturii

Rezolvare BAC 2020 Matematică M2 științe ale naturii, modelul

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (0,3·10 − 1)(0,3·10 + 1) = 8.

2. (5p) Se consideră x₁ și x₂ soluțiile ecuației x² − 6x + m = 0, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care x₁x₂(x₁ + x₂) = 12.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2√5 − x = √x + 10.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor cu 3 mai mare decât cifra unităților.

5. (5p) Determinați numărul real a pentru care vectorii u = a·i + (a − 1)·j și v = 3·i + 4·j sunt coliniari.

6. (5p) Arătați că, dacă x este număr real pentru care sin x = cos x, atunci cos 2x = 0.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că det(A(1,1)) = 3.

b) (5p) Demonstrați că A(a,b)·A(b,a) = A(−ab, a² + b²), pentru orice numere reale a și b.

c) (5p) Determinați perechile de numere întregi m și n pentru care det(A(m,n)) = 1.

a) (5p) Pentru m = 95, arătați că f(1) = 1.

b) (5p) Determinați numărul real m pentru care x₁(x₁ − x₂) + x₂(x₂ − x₃) + x₃(x₃ − x₁) = 0, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

c) (5p) Determinați rădăcinile polinomului f, știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că f'(0) = 0.

b) (5p) Demonstrați că oricare două tangente la graficul funcției f sunt concurente.

c) (5p) Demonstrați că ex³ ≥ (x + 1)(x² − x + 1), pentru orice număr real x.

a) (5p) Arătați că ∫[1,3] (f(x) − 9x) dx = 4.

b) (5p) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x) = 2f(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 9 are aria egală cu 2ln3.

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că ∫[1,√3] (f(x) − 9x)·arctg x dx = 5π12 − 3 + √3 − a2.

Acum încearcă singur

Alte rezolvări M2 științe ale naturii

c) (5p) Demonstrați că e^x³ ≥ (x + 1)(x² − x + 1), pentru orice număr real x.